Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^2-x+4)$...

- - - - - phương trình hệ phương trình hpt pt bất đẳng thức bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

Giải phương trình bằng sử dụng BĐT:

1) $\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^2-x+4)$

2) $x^2+4x+5-\frac{3x}{x^2+x+1}=(x-1)(1-\frac{2\sqrt{1-x}}{\sqrt{x^2+x+1}})$

3) $x^{3000}+500x^3+1500x+1999=0$

4) $32x^4+(4x-1)^4=\frac{1}{27}$

5) $\left\{\begin{matrix} x^5+y^5+z^5=3\\ x^6+y^6+z^6=3 \end{matrix}\right.$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#2
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết

Bài 1

Giải

ĐK: $x \geq 1$ hoặc $x \leq \dfrac{-1}{\sqrt{3}}$

Phương trình ban đầu tương đương:
$\sqrt{2(3x^2 - 1)} + \sqrt{2(x^2 - x)} + (- x\sqrt{2})\sqrt{x^2 + 1} = \dfrac{7x^2 - x + 4}{2}$

Áp dụng BĐT: $ab \leq \dfrac{a^2 + b^2}{2}$ với $a, b \in R$, ta có:
$VT \leq \dfrac{3x^2 - 1 + 2}{2} + \dfrac{x^2 - x + 2}{2} + \dfrac{2x^2 + x^2 + 1}{2} = \dfrac{7x^2 - x + 4}{2} = VF$

Vậy, phương trình có nghiệm khi:
$\left\{\begin{matrix}3x^2 - 1 = 2\\x^2 - x = 2\\-x\sqrt{2} = \sqrt{x^2 + 1}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = -1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 17-09-2013 - 15:25

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#3
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết

Bài 4

Giải

Đặt $2x = a$ và $1 - 4x = b$, khi đó: $2a + b = 1$

Vậy:
$32x^4 + (4x - 1)^4 = 2a^4 + b^4 = \dfrac{1}{27}$

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
$a^4 + \dfrac{1}{81} + \dfrac{1}{81} + \dfrac{1}{81} \geq \dfrac{4}{27}|a|$

Tương tự, ta có:
$b^4 + \dfrac{1}{81} + \dfrac{1}{81} + \dfrac{1}{81} \geq \dfrac{4}{27}|b|$
Vậy:

$2a^4 + b^4 + \dfrac{1}{9} \geq \dfrac{4}{27}(2|a| + |b|) \geq \dfrac{4}{27}(2a + b)$

$\Rightarrow 2a^4 + b^4 = \dfrac{4}{27}(2a + b) - \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{27}$

Do đó, phương trình ban đầu có nghiệm khi: $a = b = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{6}$

 

 


Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#4
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết

Bài 3

Giải

Vì x > 0 khiến phương trình vô nghiệm nên ta xét x < 0

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
$x^{3000} + 999 \geq 1000\sqrt[1000]{x^{3000}} = 1000|x|^3 = - 1000x^3$


$x^{3000} + 2999 \geq 3000\sqrt[3000]{x^{3000}} = 3000|x| = - 3000x$

Vì vậy:
$2x^{3000} + 1000x^3 + 3000x + 3998 \geq 0$

 

$\Leftrightarrow x^{3000} + 500x^3 + 1500x + 1999 \geq 0$

Phương trình có nghiệm khi xảy ra dấu “=”, khi đó x = -1

 

 


Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình, hệ phương trình, hpt, pt, bất đẳng thức, bđt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh