Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangmanhquan]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+\frac{x+3y}{x^2+y^2}=3 & \\y-\frac{y-3x}{x^2+y^2}=0 & \end{matrix}\right.$

[letankhang]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+\frac{x+3y}{x^2+y^2}=3 & \\y-\frac{y-3x}{x^2+y^2}=0 & \end{matrix}\right.$

$HPT\Rightarrow xy+\frac{xy+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=3y;xy-\frac{xy-3x^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0\Rightarrow 2xy+\frac{3x^{2}+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=3y\Rightarrow 2xy+3=3y\Rightarrow y(3-2x)=3\Rightarrow y=\frac{3}{3-2x}$

Thế $y=\frac{3}{3-2x}$ vào $PT(1)$ hoặc $PT(2)$ rồi giải

Từ đây bạn có thể dễ dàng giải tiếp rồi ( tham khảo cách giải tiếp tại đây )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 18-09-2013 - 12:55

[Zaraki]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+\frac{x+3y}{x^2+y^2}=3 & \\y-\frac{y-3x}{x^2+y^2}=0 & \end{matrix}\right.$

Lời giải. Nếu $x=0$ thì $y=1$. Nếu $y=0$ thì không tồn tại $x$ thoả mãn. Ta sẽ xét trường hợp $x,y \ne 0$. Ta dễ thấy với $x+3y=0$ thì $x=3,y=-1$ còn với $y-3x=0$ thì không tồn tại $x,y$ thoả mãn. Với $x+3y,y-3x \ne 0$ thì

$\blacktriangleright$ Nhân phương trình $(1)$ với $x$ và $(2)$ với $y$ ta được hệ $\begin{cases} x^2+ \frac{x^2+3xy}{x^2+y^2}=3x \\ y^2- \frac{y^2-3xy}{x^2+y^2}=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{x^2+3xy}{x^2+y^2}=3x-x^2 \\ \frac{y^2-3xy}{x^2+y^2}=y^2 \end{cases}$. Cộng hai vế lại ta được $x^2-3x=y^2-1. \qquad (a)$

$\blacktriangleright$ Nhân phương trình $(1)$ với $x+3y$ và $(2)$ với $y-3x$. Khi đó ta có hệ $\begin{cases} x(x+3y)+ \frac{x^2+6xy+9y^2}{x^2+y^2}=3(x+3y) \\ y(y-3x)+ \frac{y^2-6xy+9x^2}{x^2+y^2}=0 \end{cases}$.

Cộng hai phương trình ta được $x^2+y^2+10=3(x+3y) \qquad (b)$.

 

$\blacktriangleright$ Thay $x^2-3x$ $(a)$ vào $(b)$ ta được $2y^2-9y+9=0 \Leftrightarrow (y-3)(2y-3)=0$.

Nếu $y=3$ thì từ $(2)$ ta suy ra $3x^2+3x+24=0$, vô nghiệm.

Nếu $y= \frac 23$ thì từ $(2)$ ta suy ra $\frac{ \frac 23 -3x}{x^2+ \frac 49}= \frac 23 \Leftrightarrow 2x^2+9x- \frac{10}{9}=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x= \frac{-27+ \sqrt{809}}{12} \\ x= \frac{-27- \sqrt{809}}{12} \end{array} \right.$

Vậy $(x,y)= (3,-1),(0,1), \left( \frac{-27+ \sqrt{809}}{12}, \frac 23  \right) , \left( \frac{-27+ \sqrt{809}}{12}, \frac 23 \right)$