Chủ đề này có 2 trả lời

[Alexman113]

Cho $x,\,y,\,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1.$ Chứng minh rằng:$$\dfrac{x^2}{1+y}+\dfrac{y^2}{1+z}+\dfrac{z^2}{1+x}\geq\dfrac{3}{2}$$

 

[Zaraki]

Cho $x,\,y,\,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1.$ Chứng minh rằng:$$\dfrac{x^2}{1+y}+\dfrac{y^2}{1+z}+\dfrac{z^2}{1+x}\geq\dfrac{3}{2}$$

Lời giải. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta được $$\sum \frac{x^2}{1+y} \ge \frac{(x+y+z)^2}{3+x+y+z}$$

Đặt $x+y+z=a \ge 3 \sqrt[3]{xyz}=3$, ta cần chứng minh $\frac{a^2}{3+a} \ge \frac 32 \Leftrightarrow (a-3)(2a+3) \ge 0$, đúng vì $a \ge 3$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 18-09-2013 - 13:17

[HoangThanhViet]

áp dụng bđt AM-GM ta có

$\frac{x^{2}}{1+y}+\frac{1+y}{4}\geq x$

xây dựng các bđt tương tự rồi cộng lại ta có:

$\frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{z^{2}}{1+x}+\frac{3+x+y+z}{4}\geq x+y+z$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{z^{2}}{1+x}\geq \frac{3(x+y+z)-3}{4}\geq \frac{9\sqrt[3]{xyz}-3}{4}=\frac{3}{2}$

dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangThanhViet: 22-09-2013 - 09:11