Chủ đề này có 5 trả lời

[mathandyou]

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN

Thời gian:150 phút

Bài 1:Giải hệ:$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+2y+3}+\sqrt{2x+3y+4}=9 &  & \\ \sqrt{18x+19y+20}+\sqrt{21x+22y+23}=27&  &\end{matrix}\right.$

Bài 2:Tìm tất cả giá trị $m$ để phương trình $mx^2+2cosx=2$ có đúng 2 nghiệm phân biệt trong $[0;\frac{\pi}{2}]$.

Bài 3:Cho $CD$ là dây cung của đường tròn $T_1$ và $AB$ là đường kính vuông góc với $CD$ tại $N$ của $(T_1)$,($AN>BN$).Một đường tròn $T_2$ có tâm là $C$ bán kính $CN$ cắt $T_1$ tại $P$ và $Q$.Đường thẳng $PQ$ cắt $CD$ tại $M$ và $AC$ tại $K$.$NK$ kéo dài cắt $T_2$ tại $L$.Chứng minh $PQ$ vuông góc với $AL$.

Bài 4:Trong không gian cho ba tia $Ox,Oy,Oz$ đôi một vuông góc với nhau.Lấy $A,B,C$ lần lượt di động trên tia $Ox,Oy,Oz$ sao cho $OA+OB+OC+AB+BC+CA=k$;$k>0$ không thay đổi.Tìm GTLN của thể tích tứ diện $OABC$.

Bài 5:Trong một thư viện người ta quan sát thấy được:

-Mỗi ngày có 5 người đọc sách.

-Hai ngày bất kì thì số người đọc sách là 9.

Hãy tính xem trong 1 tháng có bao nhiêu người đến đọc sách.Biết tháng đó có 30 ngày.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathandyou: 19-09-2013 - 17:21

[LNH]

Bài 5:Trong một thư viện người ta quan sát thấy được:

-Mỗi ngày có 5 người đọc sách.

-Hai ngày bất kì thì số người đọc sách là 9.

Hãy tính xem trong 1 tháng có bao nhiêu người đến đọc sách.Biết tháng đó có 30 ngày.

 

Chém bài dễ nhất cái đã

Gọi tập hợp người đọc của ngày thứ $i$ là $A_i$

Bổ đề: $\left | \bigcap_{i=1}^{30}A_i \right |=1$

Xét tập $A_1$:

Gọi $a$ là phần tử của $A_1$ thuộc nhiều tập nhất. Số tập hợp mà $a$ thuộc lớn hơn hoặc bằng 6

Gọi các tập hợp chứa $a$ là $A'_1,...,A'_m$ ($m \geq 6$)

Giả sử tồn tại tập $B$ không có phần tử $a$.

Mà $\left | B \right |=5$ nên theo nguyên tắc Dirichlet, có ít nhất 2 tập $A'_i,A'_j$ sao cho $\left | B\cap A'_i \cap A'_j \right |=1$

Mà $A'_i \cap A'_j =a$ nên $a \in B$(vô lí) 

Suy ra  $\bigcap_{i=1}^{30}A_i=\left \{ a \right \}$ (đpcm)

Quay lại bài toán:

Vì $\left | \bigcap_{i=1}^{30}A_i \right |=1$ nên dễ dàng thấy rằng $\left | \bigcup_{i=1}^{30}A_i \right |=30.4+1=121$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 18-09-2013 - 18:02

[tranquocluat_ht]

 

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN

Thời gian:150 phút

Bài 1:Giải hệ:$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+2y+3}+\sqrt{2x+3y+23}=9 &  & \\ \sqrt{18x+19y+20}+\sqrt{21x+22y+23}=27&  &\end{matrix}\right.$

Bài 2:Tìm tất cả giá trị $m$ để phương trình $mx^2+2cosx=2$ có đúng 2 nghiệm phân biệt trong $[0;\frac{\pi}{2}]$.

Bài 3:Cho $CD$ là dây cung của đường tròn $T_1$ và $AB$ là đường kính vuông góc với $CD$ tại $N$ của $(T_1)$,($AN>BN$).Một đường tròn $T_2$ có tâm là $C$ bán kính $CN$ cắt $T_1$ tại $P$ và $Q$.Đường thẳng $PQ$ cắt $CD$ tại $M$ và $AC$ tại $K$.$NK$ kéo dài cắt $T_2$ tại $L$.Chứng minh $PQ$ vuông góc với $AL$.

Bài 4:Trong không gian cho ba tia $Ox,Oy,Oz$ đôi một vuông góc với nhau.Lấy $A,B,C$ lần lượt di động trên tia $Ox,Oy,Oz$ sao cho $OA+OB+OC+AB+BC+CA=k$;$k>0$ không thay đổi.Tìm GTLN của thể tích tứ diện $OABC$.

Bài 5:Trong một thư viện người ta quan sát thấy được:

-Mỗi ngày có 5 người đọc sách.

-Hai ngày bất kì thì số người đọc sách là 9.

Hãy tính xem trong 1 tháng có bao nhiêu người đến đọc sách.Biết tháng đó có 30 ngày.

 

+ Chú ý $MN.MX=MC.2CN$ nên $MC=MN$.

+ Chú ý $KC.KA=KP.KQ=KN.KL$ nên tứ giác $CLAN$ nội tiếp.

+ Từ đó $AL$ là tiếp tuyến của $T_2$.

+ Ta có $\widehat{NCA}=\widehat{NLA}=\widehat{NXL}$ nên $CK // XL$, từ đó $K$ là trung điểm $NL$.

+ Ta có $PQ$ là đường trung bình tam giác $NCL$ nên ta có đpcm.

[Primary]

Mình nghĩ câu hệ pt chắc là số 4 chứ : http://diendantoanho...trình/?p=451605

[Ispectorgadget]

 

Bài 4:Trong không gian cho ba tia $Ox,Oy,Oz$ đôi một vuông góc với nhau.Lấy $A,B,C$ lần lượt di động trên tia $Ox,Oy,Oz$ sao cho $OA+OB+OC+AB+BC+CA=k$;$k>0$ không thay đổi.Tìm GTLN của thể tích tứ diện $OABC$.

Đặt $OA=a;OB=b;OC=c$

 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có $$(a+b)+(b+c)+(c+a)\le \sqrt{2(a^2+b^2)}+\sqrt{2(b^2+c^2)}+\sqrt{2(c^2+a^2)}$$

 

$$\Rightarrow \sqrt{2}(a+b+c)\le \sqrt{(a^2+b^2)}+\sqrt{(b^2+c^2)}+\sqrt{(c^2+a^2)} $$

Theo định lý Pythagore ta có

$$ (\sqrt{2}+1)(a+b+c)\le OA+OB+OC+AB+BC+CA=k$$
 

$$\Rightarrow \frac{k}{\sqrt{2}+1}\ge a+b+c$$
$V_{OABC}=\frac{abc}{6}$

Theo AM-GM ta có $\frac{k}{\sqrt{2}+1}=a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$

 

$$\Rightarrow \left(\frac{k}{3\sqrt{2}+3} \right )^3\ge abc$$

$$\Rightarrow V_{OABC}\le \frac{\left(\frac{k}{3\sqrt{2}+3} \right )^3}{6}$$

 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c \iff OA=OB=OC$.

[tranquocluat_ht]

 

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN

Thời gian:150 phút

Bài 1:Giải hệ:$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+2y+3}+\sqrt{2x+3y+4}=9 &  & \\ \sqrt{18x+19y+20}+\sqrt{21x+22y+23}=27&  &\end{matrix}\right.$

Bài 2:Tìm tất cả giá trị $m$ để phương trình $mx^2+2cosx=2$ có đúng 2 nghiệm phân biệt trong $[0;\frac{\pi}{2}]$.

Bài 3:Cho $CD$ là dây cung của đường tròn $T_1$ và $AB$ là đường kính vuông góc với $CD$ tại $N$ của $(T_1)$,($AN>BN$).Một đường tròn $T_2$ có tâm là $C$ bán kính $CN$ cắt $T_1$ tại $P$ và $Q$.Đường thẳng $PQ$ cắt $CD$ tại $M$ và $AC$ tại $K$.$NK$ kéo dài cắt $T_2$ tại $L$.Chứng minh $PQ$ vuông góc với $AL$.

Bài 4:Trong không gian cho ba tia $Ox,Oy,Oz$ đôi một vuông góc với nhau.Lấy $A,B,C$ lần lượt di động trên tia $Ox,Oy,Oz$ sao cho $OA+OB+OC+AB+BC+CA=k$;$k>0$ không thay đổi.Tìm GTLN của thể tích tứ diện $OABC$.

Bài 5:Trong một thư viện người ta quan sát thấy được:

-Mỗi ngày có 5 người đọc sách.

-Hai ngày bất kì thì số người đọc sách là 9.

Hãy tính xem trong 1 tháng có bao nhiêu người đến đọc sách.Biết tháng đó có 30 ngày.

 

 

Về nguyên tắc thì câu hệ không khó bởi lẽ: Đặt 2 căn đầu thành $a, b$ rút được $x, y$ theo $a^2, b^2$, thay vào phương trình sau rồi thay $b=9-a$ vào sẽ được một phương trình vô tỷ ẩn $a$.