Phần 1: Kiến thức cơ bản
*Căn bậc 2:
Ta có các công thức cơ bản sau:
1/ $\sqrt{A^2}=\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$
2/ $\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$ Với A,B $\geq 0$
3/ $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ với A $\geq$ 0 và $B> 0$
4/ $\sqrt{A^2B}=\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}\sqrt{B}$
5/ $A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}$ với $A,B\geq 0$
$A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}$ với $A< 0$ và $B\geq 0$
6/ $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{AB}}{\begin{vmatrix} B \end{vmatrix}}$ với $AB\geq 0$ và B khác 0
7/ $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$ với B$> 0$
8/ $\frac{C}{\sqrt{A}\underline{+}B}=\frac{C(\sqrt{A}\underline{+}B)}{A-B^2}$ với $A\geq 0$ và A khác $B^2$
9/ $\frac{C}{\sqrt{A}\underline{+}\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\underline{+}\sqrt{B})}{A-B}$ với $A,B\geq 0$ và A khác B
Đó là những công thức căn bản chúng ta cần nhớ , sau đây là công thức còn được gọi là '' Căn phức tạp''
+Ta có :
$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$
$\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$
Mình chỉ nói sơ qua thôi còn muốn hiểu kĩ về nó và áp dụng bạn xem tại chủ đề của mình lúc trước tại đây :
http://diendantoanho...ăn-bậc-2-lớp-9/
*Căn bậc 3 và bậc n:
1/ $\sqrt[n]{A^m}=\sqrt[nk]{A^{mk}}$ với A>0 và k,m là số tự nhiên
2/ $\sqrt[m]{\sqrt[n]{A}}=\sqrt[mn]{A}$ với A>0 , m>2
3/ $\sqrt[n]{AB}=\sqrt[n]{A}.\sqrt[n]{B}$ với A,B >0
4/ $\sqrt[n]{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}$ với A,B >0
5/ $(\sqrt[n]{A})^{m}=\sqrt[n]{A^m}$ với A>0 và m là số tự nhiên khác 0
_____________________________________________________________________________________
Cách phân tích căn bậc 2 , bậc 3
I. Căn bậc 2Khi phân tích căn bậc 2 , ta thường chuyển về dạng $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{(c+d)^2}$ để từ đó làm mất dấu căn lớn ở ngoài
tức là ta sẽ đi tạo thành hằng đẳng thức $\sqrt{(c+d)^2}=\sqrt{c^2+2cd+d^2}$. Thử các ví dụ sau :
Ví dụ 1: Rút gọn:
$A=\sqrt{8-2\sqrt{15}}-\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
Giải:Chúng ta cần chuyển về dạng $\sqrt{(c+d)^2}=\sqrt{c^2+2cd+d}$ .Trước tiên nhìn vào hệ số 2ab là $2\sqrt{15}$ .
Thấy được : $2\sqrt{15}=2.\sqrt{3}.\sqrt{5}$
nên dự đoán hệ số c,d bằng 3,5. Thay vào ta được :$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3+2.\sqrt{3}.\sqrt{5}+5}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{5}$
Tương tự :$\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{3-2.\sqrt{3}.\sqrt{5}+5}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
Vậy :$A=\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$
Ví dụ 2 : Rút gọn:
$$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$$
Giải:Trước tiên ra rút gọn $29-12\sqrt{5}$
xét hệ số $2cd$ là $12\sqrt{5}$
Ta có các khả năng sau:
1.$12\sqrt{5}=2.6.\sqrt{5}$
nhưng nếu cho hệ số $c$ là $6$ , $d$ là $\sqrt{5}$ thì $c^2+d^2=41$ $\Rightarrow$ loại trường hơp này
2. $12\sqrt{5}=2.2.3\sqrt{5}$
nhưng nếu cho hệ số $c=3\sqrt{5}$, $d=2$ thì $c^2+d^2=49$ $\Rightarrow$ loại trường hơp này
3. $12\sqrt{5}=2.3.2\sqrt{5}$
thử thay $c=3,d=2\sqrt{5}$ thì ta thấy $c^2+d^2=29$, đúng
nên
$\sqrt{29-12\sqrt{5}}=\sqrt{20-2.3.2\sqrt{5}+9}=\sqrt{(2\sqrt{5}-3)^2}=2\sqrt{5}-3$
Thay vào bài toán :$$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}$$
Tiếp theo ra xét :$\sqrt{6-2\sqrt{5}}$
Xét hệ số $2cd$ là $2\sqrt{5}=2.\sqrt{5}.1$ thì $c^2+d^2=6$ thoảthay vào bài toán ta được :
$\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=\sqrt{5}-1$
Vậy :$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}=1$
Một số cách giải các bài toán căn bậc 2 :ví dụ 3: Rút gọn biểu thức :
$A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$
Giải: ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$Cách 1: Ta nhân thêm $\sqrt{2}$ vào biểu thức để tạo hằng đẳng thức. Tai sao?
Ở đây ta thấy có hệ số $cd$ chứ chưa có hệ số $2cd$ vì thế ta nghĩ đến việc nhân thêm $\sqrt{2}$ vào biểu thức
Xét :
$\sqrt{2}A=\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-\sqrt{2x-1}}$
$\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1+2\sqrt{2x-1}+1}-\sqrt{2x-1-\sqrt{2x-1}+1}$
$\sqrt{2}A=\sqrt{(\sqrt{2x-1}+1)^2}-\sqrt{(\sqrt{2x-1}-1)^2}=\sqrt{2x-1}+1-\left | \sqrt{2x-1}-1 \right |$
Xét trường hợp để phá trị tuyệt đối:+Xét $x\geq 1$ thì $\left | \sqrt{2x-1}-1 \right |=\sqrt{2x-1}-1$
thì $\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1}+1-(\sqrt{2x-1}-1)=2\Rightarrow A=\sqrt{2}$
+Xét $\frac{1}{2}\leq x\leq 1$
thì $\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1}+1-(1-\sqrt{2x-1})=2\sqrt{2x-1}\Rightarrow A=\sqrt{4x-2}$
Cách 2: Đặt vế căn nhỏ làm ẩn phụ:
Xét :
$A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$
Đặt $\sqrt{2x-1}=t\Rightarrow t^2=2x-1\Rightarrow x=\frac{t^2+1}{2}$
$A=\sqrt{\frac{t^2+1}{2}+t}-\sqrt{\frac{t^2+1}{2}-t}$
$A=\sqrt{\frac{(t+1)^2}{2}}-\sqrt{\frac{(t-1)^2}{2}}$
$A=\frac{t+1}{\sqrt{2}}-\frac{\left | t-1 \right |}{\sqrt{2}}$
Xét $t\geq 1$ thì$A=\frac{t+1}{\sqrt{2}}-\frac{t-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
Xét $t< 1$ thì :$A=\frac{t+1}{\sqrt{2}}-\frac{1-t}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}t=\sqrt{4x-2}$
Cách 3: Bình phương 2 vế :$A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$
$A^2=x+\sqrt{2x-1}+x-\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x^2-(\sqrt{2x-1})^2}$
$A^2=2x-2\left | x-1 \right |$
Xét $x\geq 1$ thì $A^2=2x-2(x-1)=2$ mà A>0 nên $A=\sqrt{2}$Xét $x< 1$ thì $A^2=2x-2(1-x)=4x-2$ nên $A=\sqrt{4x-2}$
II.Căn bậc ba;
Một số cách phân tích:
Cách 1 : Xét ví dụ :
$A=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}$
Nhận xét rằng A phải viết được dưới dạng $A=\sqrt[3]{(a+b)^{3}}\Rightarrow A^{3}=(a+b)^{3}=a(a^{2}+3b^{2})+b(b^{2}+3a^{2})\Rightarrow 44+18\sqrt{6}=a(a^{2}+3b^{2})+b(b^{2}+3a^{2})$Ta cứ lấy giá trị sau : $18\sqrt{6}=a(a^{2}+3b^{2})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & a=\sqrt{6} & \\ & a^{2}+3b^{2}=18 & \end{matrix}\right. \Rightarrow a=\sqrt{6},b=2$ Suy ra $A=2+\sqrt{6}$
Cách 2 :$\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$=$\sqrt[3]{(c+\sqrt{d})^3}$=$c+\sqrt{d}$
Giải phương trình $3c(\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}-c)^2+c^3=a$
=> tìm được $c$ sau đó tìm $d$
Một số cách giải các bài toán căn bậc 3 :
ví dụ 4: Rút gọn :
$A=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}+\sqrt[3]{44-18\sqrt{6}}$
Cách 1: Xét$A^3=44+18\sqrt{6}+44-18\sqrt{6}+3.A.\sqrt[3]{44^2-(18\sqrt{6})^2}=88+3.A.-2$
$A^3+6A-88=0$
$(A^2+4A+22)(A-4)=0$
Vậy:$A=4$
Cách 2: Rút gọn từng vế trong căn:$\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}=2+\sqrt{6}$ ; $\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}=2-\sqrt{6}$ nên
$A=4$
Phần 2 : Các bài tập để luyện thi:
1/ Cho a,b,c là số hữu tỷ khác nhau đôi một
Chứng minh A=$\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}$ là 1 số hữu tỷ
2/ Rút gọn căn bậc 3 :
a/ $\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}$
b/ $\sqrt[3]{1620+23\sqrt{4752}}+\sqrt[3]{1620-23\sqrt{4752}}$
3/ (đề thi T/s THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai ,2013-2014)
Cho k là số thực ($k> \frac{1}{2}$)
a/ chứng minh rằng :
$\frac{1}{(2k-1)\sqrt{2k+1}+(2k+1)\sqrt{2k-1}}=\frac{1}{2}[\frac{1}{\sqrt{2k-1}}-\frac{1}{\sqrt{2k+1}}]$
b/ Rút gọn
P=$\frac{1}{1\sqrt{3}+3\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{5}+5\sqrt{3}}+...+\frac{1}{97\sqrt{99}+99\sqrt{97}}$
4/ (đề thi T/s THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai ,2012-2013)
Cho phương trình $x^4-16x^2+32=0$
chứng minh rằng :
$x_{0}$=$\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ là 1 nghiệm của phương trình đã cho
5/ (đề thi T/s trường Phổ thông năng khiếu (Khtn) - đại học quốc gia TPHCM 2005-2006)
Cho $a,b> 0$ và c khác 0 . Chứng minh
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow \sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}$
6/ Giải phương trình :
$\sqrt{x+6}+\sqrt{x-3}-\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=0$
7/ chứng minh rằng biểu thức sau không phải là số tự nhiên :
A=$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2}}$ với $n\geq 2$
8/ So sánh 2 số A và B sau :
A=$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}$
và B=$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$
9/ (đề thi T/s trường Phổ thông năng khiếu (Khtn) - đại học quốc gia TPHCM 2007-2008)
Cho A=$\frac{(\sqrt{x^2+4}-2)(x+\sqrt{x}+1)(\sqrt{x^2+4}+2)\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}}{x(x\sqrt{x}-1)}$ . Rút gọn A
10/ Cho x,y,z >0 thỏa mãn xyz=4 . Tính giá trị biểu thức sau :
P= $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{zx}+2\sqrt{z}+2}$
Mọi người ủng hộ TOPIC . Trước tiên là 10 bài này sau đó còn có nhiều bài nữa!
Bài nào mình tô màu xanh là đã được giải nha! Còn nhiều bài ở trang 2 nữa các bạn !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 03-08-2014 - 20:18