Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 18 Bình chọn

[TOPIC] Luyện tập biến đổi căn thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 128 trả lời

#1 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-09-2013 - 00:09

Chúng ta được biết các dạng toán về biến đổi căn thức là quan trọng trong các kì thi tuyển sinh cũng như thi HSG . Chính vì vậy mình xin mở topic về chuyên đề biến đổi căn thức ( lớp 9 ) . Mong mọi người ủng hộ :lol: :lol:
Phần 1: Kiến thức cơ bản
*Căn bậc 2:
Ta có các công thức cơ bản sau:
1/ $\sqrt{A^2}=\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$
2/ $\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$ Với A,B $\geq 0$
3/ $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ với A $\geq$ 0 và $B> 0$
4/ $\sqrt{A^2B}=\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}\sqrt{B}$
5/ $A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}$ với $A,B\geq 0$
$A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}$ với $A< 0$ và $B\geq 0$
6/ $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{AB}}{\begin{vmatrix} B \end{vmatrix}}$ với $AB\geq 0$ và B khác 0
7/ $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$ với B$> 0$
8/ $\frac{C}{\sqrt{A}\underline{+}B}=\frac{C(\sqrt{A}\underline{+}B)}{A-B^2}$ với $A\geq 0$ và A khác $B^2$
9/ $\frac{C}{\sqrt{A}\underline{+}\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\underline{+}\sqrt{B})}{A-B}$ với $A,B\geq 0$ và A khác B
Đó là những công thức căn bản chúng ta cần nhớ , sau đây là công thức còn được gọi là '' Căn phức tạp''
+Ta có :
$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$
$\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$
Mình chỉ nói sơ qua thôi còn muốn hiểu kĩ về nó và áp dụng bạn xem tại chủ đề của mình lúc trước tại đây :
http://diendantoanho...ăn-bậc-2-lớp-9/
*Căn bậc 3 và bậc n:
1/ $\sqrt[n]{A^m}=\sqrt[nk]{A^{mk}}$ với A>0 và k,m là số tự nhiên
2/ $\sqrt[m]{\sqrt[n]{A}}=\sqrt[mn]{A}$ với A>0 , m>2
3/ $\sqrt[n]{AB}=\sqrt[n]{A}.\sqrt[n]{B}$ với A,B >0
4/ $\sqrt[n]{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}$ với A,B >0
5/ $(\sqrt[n]{A})^{m}=\sqrt[n]{A^m}$ với A>0 và m là số tự nhiên khác 0
_____________________________________________________________________________________

Cách phân tích căn bậc 2 , bậc 3

I. Căn bậc 2
Khi phân tích căn bậc 2 , ta thường chuyển về dạng $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{(c+d)^2}$ để từ đó làm mất dấu căn lớn ở ngoài
tức là ta sẽ đi tạo thành hằng đẳng thức $\sqrt{(c+d)^2}=\sqrt{c^2+2cd+d^2}$. Thử các ví dụ sau :
Ví dụ 1: Rút gọn:

$A=\sqrt{8-2\sqrt{15}}-\sqrt{8+2\sqrt{15}}$

Giải:
Chúng ta cần chuyển về dạng $\sqrt{(c+d)^2}=\sqrt{c^2+2cd+d}$ .Trước tiên nhìn vào hệ số 2ab là $2\sqrt{15}$ .

Thấy được : $2\sqrt{15}=2.\sqrt{3}.\sqrt{5}$

nên dự đoán hệ số c,d bằng 3,5. Thay vào ta được :

$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3+2.\sqrt{3}.\sqrt{5}+5}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{5}$

Tương tự :

$\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{3-2.\sqrt{3}.\sqrt{5}+5}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$

Vậy :

$A=\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$



Ví dụ 2 : Rút gọn:

$$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$$

Giải:
Trước tiên ra rút gọn $29-12\sqrt{5}$
xét hệ số $2cd$ là $12\sqrt{5}$
Ta có các khả năng sau:
1.$12\sqrt{5}=2.6.\sqrt{5}$
nhưng nếu cho hệ số $c$ là $6$ , $d$ là $\sqrt{5}$ thì $c^2+d^2=41$ $\Rightarrow$ loại trường hơp này
2. $12\sqrt{5}=2.2.3\sqrt{5}$
nhưng nếu cho hệ số $c=3\sqrt{5}$, $d=2$ thì $c^2+d^2=49$ $\Rightarrow$ loại trường hơp này
3. $12\sqrt{5}=2.3.2\sqrt{5}$
thử thay $c=3,d=2\sqrt{5}$ thì ta thấy $c^2+d^2=29$, đúng
nên

$\sqrt{29-12\sqrt{5}}=\sqrt{20-2.3.2\sqrt{5}+9}=\sqrt{(2\sqrt{5}-3)^2}=2\sqrt{5}-3$

Thay vào bài toán :

$$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}$$

Tiếp theo ra xét :

$\sqrt{6-2\sqrt{5}}$

Xét hệ số $2cd$ là $2\sqrt{5}=2.\sqrt{5}.1$ thì $c^2+d^2=6$ thoả
thay vào bài toán ta được :

$\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=\sqrt{5}-1$

Vậy :

$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}=1$

Một số cách giải các bài toán căn bậc 2 :
ví dụ 3: Rút gọn biểu thức :

$A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$

Giải: ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$
Cách 1: Ta nhân thêm $\sqrt{2}$ vào biểu thức để tạo hằng đẳng thức. Tai sao?
Ở đây ta thấy có hệ số $cd$ chứ chưa có hệ số $2cd$ vì thế ta nghĩ đến việc nhân thêm $\sqrt{2}$ vào biểu thức
Xét :

$\sqrt{2}A=\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-\sqrt{2x-1}}$

$\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1+2\sqrt{2x-1}+1}-\sqrt{2x-1-\sqrt{2x-1}+1}$

$\sqrt{2}A=\sqrt{(\sqrt{2x-1}+1)^2}-\sqrt{(\sqrt{2x-1}-1)^2}=\sqrt{2x-1}+1-\left | \sqrt{2x-1}-1 \right |$

Xét trường hợp để phá trị tuyệt đối:
+Xét $x\geq 1$ thì $\left | \sqrt{2x-1}-1 \right |=\sqrt{2x-1}-1$
thì $\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1}+1-(\sqrt{2x-1}-1)=2\Rightarrow A=\sqrt{2}$
+Xét $\frac{1}{2}\leq x\leq 1$
thì $\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1}+1-(1-\sqrt{2x-1})=2\sqrt{2x-1}\Rightarrow A=\sqrt{4x-2}$
Cách 2: Đặt vế căn nhỏ làm ẩn phụ:
Xét :

$A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$


Đặt $\sqrt{2x-1}=t\Rightarrow t^2=2x-1\Rightarrow x=\frac{t^2+1}{2}$

$A=\sqrt{\frac{t^2+1}{2}+t}-\sqrt{\frac{t^2+1}{2}-t}$

$A=\sqrt{\frac{(t+1)^2}{2}}-\sqrt{\frac{(t-1)^2}{2}}$

$A=\frac{t+1}{\sqrt{2}}-\frac{\left | t-1 \right |}{\sqrt{2}}$

Xét $t\geq 1$ thì

$A=\frac{t+1}{\sqrt{2}}-\frac{t-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Xét $t< 1$ thì :

$A=\frac{t+1}{\sqrt{2}}-\frac{1-t}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}t=\sqrt{4x-2}$

Cách 3: Bình phương 2 vế :

$A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$

$A^2=x+\sqrt{2x-1}+x-\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x^2-(\sqrt{2x-1})^2}$

$A^2=2x-2\left | x-1 \right |$

Xét $x\geq 1$ thì $A^2=2x-2(x-1)=2$ mà A>0 nên $A=\sqrt{2}$
Xét $x< 1$ thì $A^2=2x-2(1-x)=4x-2$ nên $A=\sqrt{4x-2}$
II.Căn bậc ba;
Một số cách phân tích:
Cách 1 : Xét ví dụ :

$A=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}$

Nhận xét rằng A phải viết được dưới dạng $A=\sqrt[3]{(a+b)^{3}}\Rightarrow A^{3}=(a+b)^{3}=a(a^{2}+3b^{2})+b(b^{2}+3a^{2})\Rightarrow 44+18\sqrt{6}=a(a^{2}+3b^{2})+b(b^{2}+3a^{2})$
Ta cứ lấy giá trị sau : $18\sqrt{6}=a(a^{2}+3b^{2})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & a=\sqrt{6} & \\ & a^{2}+3b^{2}=18 & \end{matrix}\right. \Rightarrow a=\sqrt{6},b=2$ Suy ra $A=2+\sqrt{6}$
Cách 2 :$\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$=$\sqrt[3]{(c+\sqrt{d})^3}$=$c+\sqrt{d}$
Giải phương trình $3c(\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}-c)^2+c^3=a$
=> tìm được $c$ sau đó tìm $d$
Một số cách giải các bài toán căn bậc 3 :
ví dụ 4: Rút gọn :

$A=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}+\sqrt[3]{44-18\sqrt{6}}$

Cách 1: Xét

$A^3=44+18\sqrt{6}+44-18\sqrt{6}+3.A.\sqrt[3]{44^2-(18\sqrt{6})^2}=88+3.A.-2$

$A^3+6A-88=0$

$(A^2+4A+22)(A-4)=0$

Vậy:

$A=4$

Cách 2: Rút gọn từng vế trong căn:
$\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}=2+\sqrt{6}$ ; $\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}=2-\sqrt{6}$ nên

$A=4$


Phần 2 : Các bài tập để luyện thi:
1/ Cho a,b,c là số hữu tỷ khác nhau đôi một
Chứng minh A=$\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}$ là 1 số hữu tỷ
2/ Rút gọn căn bậc 3 :
a/ $\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}$
b/ $\sqrt[3]{1620+23\sqrt{4752}}+\sqrt[3]{1620-23\sqrt{4752}}$
3/ (đề thi T/s THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai ,2013-2014)
Cho k là số thực ($k> \frac{1}{2}$)
a/ chứng minh rằng :
$\frac{1}{(2k-1)\sqrt{2k+1}+(2k+1)\sqrt{2k-1}}=\frac{1}{2}[\frac{1}{\sqrt{2k-1}}-\frac{1}{\sqrt{2k+1}}]$
b/ Rút gọn
P=$\frac{1}{1\sqrt{3}+3\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{5}+5\sqrt{3}}+...+\frac{1}{97\sqrt{99}+99\sqrt{97}}$
4/ (đề thi T/s THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai ,2012-2013)
Cho phương trình $x^4-16x^2+32=0$
chứng minh rằng :
$x_{0}$=$\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ là 1 nghiệm của phương trình đã cho
5/ (đề thi T/s trường Phổ thông năng khiếu (Khtn) - đại học quốc gia TPHCM 2005-2006)
Cho $a,b> 0$ và c khác 0 . Chứng minh
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow \sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}$
6/ Giải phương trình :
$\sqrt{x+6}+\sqrt{x-3}-\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=0$
7/ chứng minh rằng biểu thức sau không phải là số tự nhiên :
A=$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2}}$ với $n\geq 2$
8/ So sánh 2 số A và B sau :
A=$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}$
và B=$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$
9/ (đề thi T/s trường Phổ thông năng khiếu (Khtn) - đại học quốc gia TPHCM 2007-2008)
Cho A=$\frac{(\sqrt{x^2+4}-2)(x+\sqrt{x}+1)(\sqrt{x^2+4}+2)\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}}{x(x\sqrt{x}-1)}$ . Rút gọn A
10/ Cho x,y,z >0 thỏa mãn xyz=4 . Tính giá trị biểu thức sau :
P= $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{zx}+2\sqrt{z}+2}$
Mọi người ủng hộ TOPIC . Trước tiên là 10 bài này sau đó còn có nhiều bài nữa!
Bài nào mình tô màu xanh là đã được giải nha! Còn nhiều bài ở trang 2 nữa các bạn !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 03-08-2014 - 20:18


#2 Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 20-09-2013 - 09:42

 

Phần 2 : Các bài tập để luyện thi:

1/ Cho a,b,c là số hữu tỷ khác nhau đôi một 

Chứng minh A=$\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}$ là 1 số hữu tỷ

2/ Rút gọn căn bậc 3 : 

a/ $\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}$

b/ $\sqrt[3]{1620+23\sqrt{4752}}+\sqrt[3]{1620-23\sqrt{4752}}$

3/ (đề thi T/s THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai ,2013-2014)

Cho k là số thực ($k> \frac{1}{2}$) 

a/ chứng minh rằng :

$\frac{1}{(2k-1)\sqrt{2k+1}+(2k+1)\sqrt{2k-1}}=\frac{1}{2}[\frac{1}{\sqrt{2k-1}}-\frac{1}{\sqrt{2k+1}}]$

b/ Rút gọn 

P=$\frac{1}{1\sqrt{3}+3\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{5}+5\sqrt{3}}+...+\frac{1}{97\sqrt{99}+99\sqrt{97}}$

 

Chém vài bài mở màn

1. Biến đổi trong căn $=\frac{1}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^{2}}+\frac{2}{\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )}+\frac{2}{\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )}+\frac{2}{\left ( c-a \right )\left ( a-b \right )}$

                                   $=\left ( \frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c} +\frac{1}{c-a}\right )^{2}$

                                   $\Rightarrow A=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}$

Vì $a,b,c$ là các số hữu tỉ nên A là số hữu tỉ

2. Biến đổi trong căn thành lập phương của 1 số ( cái này chịu khó để ý một chút là sẽ tìm ra thôi )

3. Nhân liên hợp là sẽ ra 

Mình đang bận. Làm đến đây thôi  :icon6:  :icon6:  :icon6:


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#3 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-09-2013 - 11:23



Chém vài bài mở màn

1. Biến đổi trong căn $=\frac{1}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^{2}}+\frac{2}{\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )}+\frac{2}{\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )}+\frac{2}{\left ( c-a \right )\left ( a-b \right )}$

                                   $=\left ( \frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c} +\frac{1}{c-a}\right )^{2}$

                                   $\Rightarrow A=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}$

Vì $a,b,c$ là các số hữu tỉ nên A là số hữu tỉ

2. Biến đổi trong căn thành lập phương của 1 số ( cái này chịu khó để ý một chút là sẽ tìm ra thôi )

3. Nhân liên hợp là sẽ ra 

Mình đang bận. Làm đến đây thôi  :icon6:  :icon6:  :icon6:

Đây là 1 topic ,cần sự ủng hộ của các bạn, bài tập ra để mọi người xem và ôn tập , không phải là hỏi bài ! Rất hân hạnh khi được bạn ủng hộ.Nếu Không có ai giải thì mình sẽ post đáp án

Thêm 1 vài bài nữa :

11/ Cho biết $(x+\sqrt{x^2+3})(y+\sqrt{y^2+3})=3$

Hãy tính giá trị của x+y

12/ Cho x=$\frac{\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}(\sqrt{5}+2)}{\sqrt{5}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}}$

Hãy tính giá trị biểu thức :A=$(3x^3+8x^2+2)^{2005}$

13/ Tìm x biết $x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}$ (vô hạn dấu căn )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 22-09-2013 - 15:13


#4 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 20-09-2013 - 13:14

mình xin làm bài 2 phần 2

Ta co: $\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}=\sqrt[3]{(3-\sqrt{2})}^3$

Làm tương tự

Đáp sô $=6$



#5 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 20-09-2013 - 16:09

Xem lại câu 5 nhé  :wub: . Nếu vậy thì sai đề 100%

Bắt đầu: 

2/ Rút gọn căn bậc 3 :

$a/ \sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}$

Đặt $a/ \sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}$ =A $> 0$ 

=> $A^{3}=45-29\sqrt{2}+45+29\sqrt{2}+3\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}.\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}.\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}+3.\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}.\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}.\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}=90+3.\sqrt[3]{343}.\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}+3\sqrt[3]{343}.\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}=90+21A=>A^{3}-21A-90=0=>(A-6)(A^{2}+6A+15)=0$

Vì $A^{2}+6A+15 = A^{2}+6A+9+6=(A+3)^{2}+6>0$

=> $A-6=0 => A=6$ Và $A>0$ theo điều kiện $=>$ Nhận

Vậy A = 6

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 20-09-2013 - 16:23

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#6 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 20-09-2013 - 18:01

11/ Cho biết $(x+\sqrt{x^3+3})(y+\sqrt{y^3+3})=3$

Hãy tính giá trị của x+y

Nhân liên hợp

$(x+\sqrt{x^{2}+3})(\sqrt{x^{2}+3}-x)=3\Rightarrow VT.(\sqrt{x^{2}+3}-x)=3(y+\sqrt{y^{2}+3})

\Rightarrow \sqrt{x^{2}+3}-x=\sqrt{y^{2}+3}+y$

Tương tự $\Rightarrow \sqrt{x^{2}+3}+x=\sqrt{y^{2}+3}-y$ Công theo vế suy ra 2(x+y)=0


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#7 nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT Phan Bội Châu
  • Sở thích:bóng đá, làm toán, chơi game,đủ trò

Đã gửi 20-09-2013 - 21:21

 

Chứng minh A=$\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}$ là 1 số hữu tỷ

 

đặt $a-b=x$

$b-c=y$

$c-a=z$

$\Rightarrow x+y+z=0$

$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{x^{2}y^{2}z^{2}}$

$= \frac{x^{2}y^{2}+x^{2}y^{2}+x^{2}y^{2}+2xyz\left ( x+y+z \right )}{\left ( xyz \right )^{2}}=\frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{\left ( xyz \right )^{2}}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}= \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ là số hữu tỉ



#8 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 20-09-2013 - 22:07

Nhân liên hợp

$(x+\sqrt{x^{2}+3})(\sqrt{x^{2}+3}-x)=3\Rightarrow VT.(\sqrt{x^{2}+3}-x)=3(y+\sqrt{y^{2}+3})

\Rightarrow \sqrt{x^{2}+3}-x=\sqrt{y^{2}+3}+y$

Tương tự $\Rightarrow \sqrt{x^{2}+3}+x=\sqrt{y^{2}+3}-y$ Công theo vế suy ra 2(x+y)=0

Cái này đâu có đúng, để cho là $\sqrt{x^3+3}$ mà nhỉ ? 


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#9 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-09-2013 - 22:09

Cái này đâu có đúng, để cho là $\sqrt{x^3+3}$ mà nhỉ ? 

đề cho $x^2+3$ đó , mình gõ nhầm ! Các bạn làm đi! Có gì mình post bài giải sau



#10 nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT Phan Bội Châu
  • Sở thích:bóng đá, làm toán, chơi game,đủ trò

Đã gửi 20-09-2013 - 22:14

 

b/ Rút gọn 

P=$\frac{1}{1\sqrt{3}+3\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{5}+5\sqrt{3}}+...+\frac{1}{97\sqrt{99}+99\sqrt{97}}$

 

$\frac{1}{k\sqrt{k+2}+\sqrt{k}\left ( k+2 \right )}= \frac{1}{\sqrt{k\left ( k+2 \right )}\left ( \sqrt{k}+\sqrt{k+2} \right )}$

$= \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{2\sqrt{k\left ( k+2 \right )}}= \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k-2}} \right )$

thay vào

$P=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{\sqrt{99}} \right )$



#11 nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT Phan Bội Châu
  • Sở thích:bóng đá, làm toán, chơi game,đủ trò

Đã gửi 20-09-2013 - 22:25

 

5/ (đề thi T/s trường Phổ thông năng khiếu (Khtn) - đại học quốc gia TPHCM 2005-2006)

Cho $a,b> 0$ và c khác 0 . Chứng minh

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow \sqrt{a+b}=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}$

 

như sau 

$\left ( \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c} \right )^{2}= a+b+c+b+2\sqrt{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )}= 2b+2\sqrt{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )}$

$= 2b+2\sqrt{b^{2}+ab+bc+ca}= 2b+2b$(do $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= 0$ $\Rightarrow ab+bc+ca= 0$)

$=4b$

đến đây cũng chẳng hiểu sao suy ra cái bạn nói cần chứng minh



#12 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-09-2013 - 22:27

$\frac{1}{k\sqrt{k+2}+\sqrt{k}\left ( k+2 \right )}= \frac{1}{\sqrt{k\left ( k+2 \right )}\left ( \sqrt{k}+\sqrt{k+2} \right )}$

$= \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{2\sqrt{k\left ( k+2 \right )}}= \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k-2}} \right )$

thay vào

$P=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{\sqrt{99}} \right )$

Có thể làm dựa theo câu a

3/ a/ 

$\frac{1}{(2k-1)\sqrt{2k+1}+(2k+1)\sqrt{2k-1}}=\frac{(2k-1)\sqrt{2k+1}-(2k+1)\sqrt{2k-1}}{(2k-1)^2(2k+1)-(2k+1)^2(2k-1)}=\frac{(2k-1)\sqrt{2k+1}-(2k+1)\sqrt{2k-1}}{-2(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{-2\sqrt{2k+1}}+\frac{1}{2\sqrt{2k-1}}=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2k-1}}-\frac{1}{\sqrt{2k+1}})$

b/ Áp dụng câu a , ta có ;

F=$\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+...-\frac{1}{\sqrt{99}})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{99}})=\frac{33-\sqrt{11}}{66}$



#13 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-09-2013 - 22:33

như sau 

$\left ( \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c} \right )^{2}= a+b+c+b+2\sqrt{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )}= 2b+2\sqrt{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )}$

$= 2b+2\sqrt{b^{2}+ab+bc+ca}= 2b+2b$(do $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= 0$ $\Rightarrow ab+bc+ca= 0$)

$=4b$

đến đây cũng chẳng hiểu sao suy ra cái bạn nói cần chứng minh

do mình đánh nhầm đề , đã fix đề !



#14 neversaynever99

neversaynever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Đọc sách
    Nhạc cổ điển

Đã gửi 21-09-2013 - 13:30

Chém bài 13

Đặt $x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}$

Như vậy $x^{2}=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}} \Leftrightarrow x^{2}-5=\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}} \Leftrightarrow (x^{2}-5)^{2}=13+x \Leftrightarrow (x-3)(x^{3}+3x^{2}-x-4)=0$

Do $x> 2$ nên $x^{3}-x> 0; 3x^{2}-4>0$

Do vậy x=3



#15 neversaynever99

neversaynever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Đọc sách
    Nhạc cổ điển

Đã gửi 21-09-2013 - 13:33

Tổng quát bài toán số 13

Tính giá trị của biểu thức

$\sqrt{x+\sqrt{y+\sqrt{x+\sqrt{y+...}}}}$

Nếu lấy $x=y$ thì ta có bài toán đơn giản hơn

Tính giá trị biểu thức

$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi neversaynever99: 21-09-2013 - 13:35


#16 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-09-2013 - 15:56

5/ (đề thi T/s trường Phổ thông năng khiếu (Khtn) - đại học quốc gia TPHCM 2005-2006)

Cho $a,b> 0$ và c khác 0 . Chứng minh

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow \sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}$

 

Mới có 1 ngày mà các bác chém nhanh thế!!

Tiếp theo bài 5 nhé:

Ta có : $\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}=>a+b=a+b+c+c+2\sqrt{(b+c)(a+c)}=>2(c+\sqrt{(b+c)(c+a)})=0=>\sqrt{bc+ac+ab+c^{2}}=-c=>bc+ac+ab+c^{2}=c^{2}=>ab+bc+ac=0=>\frac{ab+bc+ac}{abc}=0=>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$

$=>$ĐPCM (Q.E.D)


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#17 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 21-09-2013 - 16:20

Mình xin bài 4:)

Ta có: }=\frac{\sqrt{6-3\sqrt{4+2\sqrt{3}}}}{\sqrt[4]{2}}=\frac{\sqrt{6-3(\sqrt{3}+1)}}{\sqrt[4]{2}}=\frac{\sqrt{2-3\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{2}}$

Làm tương tự với $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

rồi thế $x_{0}$ vào phương trình trên để xác thực 



#18 neversaynever99

neversaynever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Đọc sách
    Nhạc cổ điển

Đã gửi 21-09-2013 - 18:03

Vừa đi học về.Chém tiếp

10.Do $xyz=4\Leftrightarrow \sqrt{xyz}=2$.Ta có

$P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}$

$=\frac{\sqrt{xz}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xz}+2\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{xyz}}{\sqrt{yzxz}+\sqrt{xyz}+\sqrt{zx}}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}$

$=\frac{\sqrt{xz}}{2+\sqrt{xz}+2\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{z}+2+\sqrt{xz}}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}=1$



#19 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-09-2013 - 22:20



Mình xin bài 4:)

Ta có: }=$\frac{\sqrt{6-3\sqrt{4+2\sqrt{3}}}}{\sqrt[4]{2}}=\frac{\sqrt{6-3(\sqrt{3}+1)}}{\sqrt[4]{2}}=\frac{\sqrt{2-3\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{2}}$$

rồi thế $x_{0}$ vào phương trình trên để xác thực 

Lỗi latex : $\frac{\sqrt{6-3\sqrt{4+2\sqrt{3}}}}{\sqrt[4]{2}}=\frac{\sqrt{6-3(\sqrt{3}+1)}}{\sqrt[4]{2}}=\frac{\sqrt{2-3\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{2}}$

Bài giải đầy đủ :

_Xét phương trình (1) :

$x^4-16x^2+32=0$  (1)

Đặt $t=x^2$$t=x^2$ 

(1)$\Leftrightarrow t^2-16t+32=0$ 

$\Delta =16^2-4.32=128$

$\Rightarrow t=x^2=\frac{16+\sqrt{128}}{2}=8+4\sqrt{2}$ hoặc $t=x^2=\frac{16-\sqrt{128}}{2}=8-4\sqrt{2}$

_xét giá trị $x_{0}$ :  

$x_{0}=\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{6-\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{4+2\sqrt{3}}}-\sqrt{2+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{4+2\sqrt{3}}}=\sqrt{6-\frac{3}{\sqrt{2}}(\sqrt{3}+1)}-\sqrt{2+\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{3}+1)}$

Để mai mình làm tiếp , giờ đi ngủ  ~O)  :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 21-09-2013 - 22:21


#20 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 21-09-2013 - 22:27

câu 13 lỗi rồi

vô hạn mà ko xác định rõ sao giải đây bạn

nếu là $\sqrt{5+\sqrt{5+5\sqrt{+\sqrt{...}}}}$

thì cách giải như sau

Đặt A= $\sqrt{5+\sqrt{5+5\sqrt{+\sqrt{...}}}}$

Bình phương lên rồi tách số là xong :)






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh