Đến nội dung

Hình ảnh

[TOPIC] Luyện tập biến đổi căn thức

* * * * * 18 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 128 trả lời

#61
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Mình xin làm bài thêm 1 bài nữa cho các bạn  :

12/ Xét $A^3=x^3-3x+3A\sqrt[3]{\frac{3}{4}}\Leftrightarrow A^3=x^3-3x+3A\Leftrightarrow A^3-3A-x^3+3x=0\Leftrightarrow (A-x) (A^2+Ax+x^2)-3(A-x)=0\Leftrightarrow (A-x)(A^2+Ax+x^2-3)=0$

Trường hợp 1 : A=x$\Leftrightarrow A=x=\sqrt[3]{1995}$

Trường hợp 2 :$Ax^2+Ax+x^2-3=0\Rightarrow \Delta =3(4-x^2)< 0$ do x= $\sqrt[3]{1995}$

Do đó phương trình cuối vô nghiệm :

VẬy A= $\sqrt[3]{1995}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 03-10-2013 - 21:31


#62
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Chém bài 18 tý nhé .  :icon6:  :icon6:

Ta có : $\sqrt{x}+\sqrt{4-x}=a\Rightarrow a^{2}=4+2\sqrt{4x-x^2}\Rightarrow 2\sqrt{4x-x^2}=a^2-4$ (1)

Ta lại có : $\sqrt{x}+\sqrt{4-x}=a\Rightarrow \left ( \sqrt{x}+\sqrt{4-x} \right )\left ( \sqrt{x}-\sqrt{4-x} \right )=a\left ( \sqrt{x}-\sqrt{4-x} \right )\Rightarrow 2(x-2)=a\left ( \sqrt{x}-\sqrt{4-x} \right )\Rightarrow 4(x-2)^2=a^2\left ( x+4-x-2\sqrt{x(4-x)} \right )=a^2\left ( a^2 \right )=a^4$ (2)

$\Rightarrow B^{2}=\frac{2-\sqrt{4x-x^2}}{(x-2)^2}$ Thay (1), (2) vào để tìm B nhé  :icon6:  :icon6:


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#63
Betoveen99

Betoveen99

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Bài số 19:

Ta có : $x^2-1=\frac{1}{4}(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})^2-1=\frac{(a-b)^2}{4ab}$

$\Rightarrow A=\frac{\frac{\begin{vmatrix} a-b \end{vmatrix}}{2\sqrt{ab}}}{\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}-\frac{\begin{vmatrix} a-b \end{vmatrix}}{2\sqrt{ab}}}=\frac{2 \begin{vmatrix} a-b \end{vmatrix}}{a+b-\begin{vmatrix} a-b \end{vmatrix}}$

Nếu $a\geq b$ $\Leftrightarrow A=\frac{2(a-b)}{a+b-(a-b)}=\frac{a-b}{b}$

Nếu $a<b$   $\Rightarrow A=\frac{-2(a-b)}{a+b+a-b}=\frac{b-a}{a}$



#64
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

bài nào bạn nói đi , mình sẽ giúp !

 

10/ Cho N=$9999999999400000000009$ (10 chứ số 9 và 10 chữ số 0) . Tính $\sqrt{N}$

 

10. Ta có : $N=9999999999400000000009=(10^{10}-1).10^{12}+4.10^{11}+9=10^{22}-10^{12}+4.10^{11}+9=10^{22}+9-10^{11}(10-4)=10^{22}+9-6.10^{11}=\left ( 10^{11}-3 \right )^2$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#65
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Đóng góp 1 bài dễ nhé.

Bài 27. $P=\left ( \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}} \right ).\frac{\sqrt{x^3y}}{x+y}-\frac{3y}{x-y}$

Tính P. với điều kiện $x,y>0, x\neq y$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#66
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

 

11/ Đặt x=$\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}$

Chứng minh rằng với mọi $a> \frac{1}{8}$ thì x là số nguyên dương

 

BÀi 11. Ta có : $x=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}\Rightarrow x^3=2a+3\left ( \sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}} \right ).\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}.\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}} =2a+3x.\sqrt[3]{a^2-\frac{(a+1)^2(8a-1)}{27}}=2a+3x.\sqrt[3]{\frac{12a^2-8a^3+1-6a}{27}} =2a+3x.\sqrt[3]{\left ( \frac{1-2a}{3} \right )^3}=2a+x(1-2a)\Rightarrow x^3-1=2a-1+x(1-2a)=(-2a+1)(x-1)\Rightarrow (x-1)\left ( x^2+x+1+2a-1 \right )=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=1 & & \\ x^2+x=2a & & \end{bmatrix}$

Giải nốt phương trình cuối là xong. Đến đây là quá dễ  :icon6:


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#67
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

 

 

14/Cho a=$xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}$ và b=$x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}$ với $xy>0$

Tính b theo a

 

Bài 14. Ta có : $b=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\Rightarrow b^2=x^2+x^2y^2+y^2x^2+y^2+2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=(xy)^2+(1+x^2)(1+y^2)-1+2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=\left ( xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)} \right )^2-1=a^2-1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 07-10-2013 - 15:50

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#68
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

1/Giải phương trình :

 

b/ $\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x-2}=\sqrt[3]{5x}$

 

Xét 2 trường hợp :

  • Với $x=0$ (đúng)
  • Với $x\neq 0$ Ta chia  cả 2 vế của phương trình cho $\sqrt[3]{x}$                                                                                    $\Rightarrow \sqrt[3]{1-\frac{2}{x}}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}}=\sqrt[3]{5}$ Lập phương 2 vế                                                                    $\Rightarrow 2+3.\sqrt[3]{1-\frac{4}{x^2}} \left (\sqrt[3]{1-\frac{2}{x}}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}} \right )=5\Leftrightarrow 3.\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{1-\frac{4}{x^2}}=3\Rightarrow 1-\frac{4}{x^2}=\frac{1}{5}\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}$          Vậy $S=\left \{ 0;\sqrt{5},-\sqrt{5} \right \}$

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#69
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Bài 28. Cho $\left ( x+\sqrt{x^2+3} \right )\left ( y+\sqrt{y^2+3} \right )=3.$Tính $x+y$

Bài 29. Tính $P=\sqrt{1+99.999^2+0,99.999^2}$ có $n$ số 9


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#70
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Bài 28. Cho $\left ( x+\sqrt{x^2+3} \right )\left ( y+\sqrt{y^2+3} \right )=3.$Tính $x+y$

Bài 29. Tính $P=\sqrt{1+99.999^2+0,99.999^2}$ có $n$ số 9

28 / Ta có :

$\left ( x+\sqrt{x^2+3} \right )\left ( y+\sqrt{y^2+3} \right )\left ( x-\sqrt{x^2+3} \right )=3\left ( x-\sqrt{x^2+3} \right )$

$\Rightarrow -3\left ( y+\sqrt{y^2+3} \right )=3\left ( x-\sqrt{x^2+3} \right )$

$\Rightarrow -\left ( y+\sqrt{y^2+3} \right )=\left ( x-\sqrt{x^2+3} \right ) (1)$ 

Tương tự ta cũng có:

$\Rightarrow -\left ( x+\sqrt{x^2+3} \right )=\left ( y-\sqrt{y^2+3} \right ) (2)$

cộng (1) + (2)

ta được :

$-\left ( y+\sqrt{y^2+3} \right )+-\left ( x+\sqrt{x^2+3} \right )=\left ( x-\sqrt{x^2+3} \right )+\left ( y-\sqrt{y^2+3} \right )$

$\Rightarrow -(x+y)=x+y\Leftrightarrow x+y=0$

P/s  : bài số 27 quy đồng xong rút gọn là được ! mình lười giải ra ! Có thể dùng 1 cách là đặt $\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b$ cho nó dễ dàng hơn nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 09-10-2013 - 13:42


#71
Bich Van

Bich Van

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

$\boxed{30}$ Cho $a+b+c=0$ ;$a,b,c$ khác $0$. CMR: $\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|$



#72
Bich Van

Bich Van

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

$\boxed{31}$ Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=\frac{3}{2}$. CMR: $x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bich Van: 09-10-2013 - 16:30


#73
AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết

$\boxed{30}$ Cho $a+b+c=0$ ;$a,b,c$ khác $0$. CMR: $\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|$

Ta có: $\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}} = |\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}|$

           $(\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}})^2 = |\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}|^2$

           $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{2}{ab} + \frac{2}{bc} + \frac{2}{ca}$

           $0 = \frac{2}{ab} + \frac{2}{bc} + \frac{2}{ca}$

           $0 = \frac{2c}{abc} + \frac{2a}{bca} + \frac{2b}{cab}$

           $0 = \frac{2(c + a + b)}{abc}$

           $0=0$

       $\Rightarrow$ đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 09-10-2013 - 16:32


#74
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

$\boxed{31}$ Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=\frac{3}{2}$. CMR: $x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}$

Ta có :  $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=\frac{3}{2}\Rightarrow 2x\sqrt{1-y^2}+2y\sqrt{1-z^2}+2z\sqrt{1-x^2}=3\Rightarrow x^2+\left ( 1-y^2 \right )-2x\sqrt{1-y^2}+y^2+\left ( 1-z^2 \right )-2y\sqrt{1-z^2}+z^2+\left ( 1-x^2 \right )-2z\sqrt{1-x^2}=0$

 

$\Leftrightarrow \left ( x-\sqrt{1-y^2} \right )^2+\left ( y-\sqrt{1-z^2} \right )^2+\left ( z-\sqrt{1-x^2} \right )^2=0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{1-y^2} & & & \\ y=\sqrt{1-z^2} & & & \\ z=\sqrt{1-x^2} & & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 09-10-2013 - 22:06

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#75
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Để mình giải nốt các bài còn lại :

bài 3 : Giải phương trình ẩn x :

ĐKXĐ: $b\leq x\leq a$

Đặt $\sqrt[4]{a-x}=m,\sqrt[4]{x-b}=n\Rightarrow a-b=m^4+n^4>0$

Phương trình đã cho trở thành :

$\frac{mn^4+m^4n}{m+n}=\frac{m^4+n^4}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{mn(m+n)(m^2-mn+n^2)}{m+n}=\frac{m^4+n^4}{2}$

$\Leftrightarrow 2mn(m^2-mn+n^2)=m^4+n^4$

$\Leftrightarrow (m-n)^2(m^2+n^2)=0$

$\Leftrightarrow m=n$

$\Leftrightarrow x=\frac{a+b}{2}$



#76
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

bài 6:

rút gọn biểu thức , ta được : $P=\frac{1-\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}}$

$x=\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

thế vào ta được $P=3$

$P=\frac{1-\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}-1\geq 2-1=1(dấu bằng xảy ra khi x=1)$

Nhưng x=1 ko thỏa điều kiển xác định . 

$vậy P> 1$

suy ra giá trị lớn nhất của a để $P> a$ là a=1



#77
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

13/ Phương pháp hữu tỷ hóa :

Đặt A=$\frac{T}{M}$, $T>0$ nên $T=\sqrt{T^2}$ . Xét :

$T^2=(\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1})+(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1})-2\sqrt{((\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1})((\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}))}$
      =>$T^2=2\sqrt[4]{8}-2\sqrt{\sqrt{8}-\sqrt{2}+1}=2(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}$

nên $T=\sqrt{2}.\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}$

nên $A=\sqrt{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 09-10-2013 - 22:04


#78
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Bài 32: Vơi môi k nguyên dương. Đăt $S_{k}=\left (\sqrt{2}+1 \right )^k+\left ( \sqrt{2}-1 \right )^k$. Cmr: vơi mọi sô nguyên dương $m,n$ $(m>n)$. Ta có: $S_{m}.S_{n}=S_{m+n}+S_{m-n}$

Đê  thi khôi THPT SPHN


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#79
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Cách phân tích căn bậc 2 , bậc 3

I. Căn bậc 2

Khi phân tích căn bậc 2 , ta thường chuyển về dạng $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{(c+d)^2}$ để từ đó làm mất dấu căn lớn ở ngoài 

tức là ta sẽ đi tạo thành hằng đẳng thức $\sqrt{(c+d)^2}=\sqrt{c^2+2cd+d^2}$. Thử các ví dụ sau :

Ví dụ 1: Rút gọn:

$A=\sqrt{8-2\sqrt{15}}-\sqrt{8+2\sqrt{15}}$

Giải:

Chúng ta cần chuyển về dạng $\sqrt{(c+d)^2}=\sqrt{c^2+2cd+d}$ .Trước tiên nhìn vào hệ số 2ab là $2\sqrt{15}$

Thấy được : $2\sqrt{15}=2.\sqrt{3}.\sqrt{5}$

nên dự đoán hệ số c,d bằng 3,5. Thay vào ta được :

$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3+2.\sqrt{3}.\sqrt{5}+5}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{5}$

Tương tự : 

$\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{3-2.\sqrt{3}.\sqrt{5}+5}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$

Vậy :

$A=\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$

 

Ví dụ 2 : Rút gọn:

$$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$$

Giải:

Trước tiên ra rút gọn $29-12\sqrt{5}$

xét hệ số $2cd$ là $12\sqrt{5}$

Ta có các khả năng sau:

1.$12\sqrt{5}=2.6.\sqrt{5}$

nhưng nếu cho hệ số $c$ là $6$ , $d$ $\sqrt{5}$ thì $c^2+d^2=41$ $\Rightarrow$ loại trường hơp này

2. $12\sqrt{5}=2.2.3\sqrt{5}$

nhưng nếu cho hệ số $c=3\sqrt{5}$$d=2$ thì $c^2+d^2=49$ $\Rightarrow$ loại trường hơp này

3. $12\sqrt{5}=2.3.2\sqrt{5}$

thử thay $c=3,d=2\sqrt{5}$ thì ta thấy $c^2+d^2=29$, đúng 

nên

 $\sqrt{29-12\sqrt{5}}=\sqrt{20-2.3.2\sqrt{5}+9}=\sqrt{(2\sqrt{5}-3)^2}=2\sqrt{5}-3$

Thay vào bài toán :

$$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}$$

Tiếp theo ra xét :

$\sqrt{6-2\sqrt{5}}$

Xét hệ số $2cd$ là $2\sqrt{5}=2.\sqrt{5}.1$  thì $c^2+d^2=6$ thoả

thay vào bài toán ta được :

$\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=\sqrt{5}-1$

Vậy :

$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}=1$

Một số cách giải các bài toán căn bậc 2 :

ví dụ 3: Rút gọn biểu thức :

$A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$

Giải: ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$

Cách 1: Ta nhân thêm $\sqrt{2}$ vào biểu thức để tạo hằng đẳng thức. Tai sao?

Ở đây ta thấy có hệ số $cd$ chứ chưa có hệ số $2cd$ vì thế ta nghĩ đến việc nhân thêm $\sqrt{2}$ vào biểu thức

Xét :

$\sqrt{2}A=\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-\sqrt{2x-1}}$

$\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1+2\sqrt{2x-1}+1}-\sqrt{2x-1-\sqrt{2x-1}+1}$

$\sqrt{2}A=\sqrt{(\sqrt{2x-1}+1)^2}-\sqrt{(\sqrt{2x-1}-1)^2}=\sqrt{2x-1}+1-\left | \sqrt{2x-1}-1 \right |$

Xét trường hợp để phá trị tuyệt đối:

+Xét $x\geq 1$ thì $\left | \sqrt{2x-1}-1 \right |=\sqrt{2x-1}-1$

thì $\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1}+1-(\sqrt{2x-1}-1)=2\Rightarrow A=\sqrt{2}$

+Xét $\frac{1}{2}\leq x\leq 1$

thì $\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1}+1-(1-\sqrt{2x-1})=2\sqrt{2x-1}\Rightarrow A=\sqrt{4x-2}$

Cách 2:  Đặt vế căn nhỏ làm ẩn phụ:

Xét :

 $A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$

 

Đặt $\sqrt{2x-1}=t\Rightarrow t^2=2x-1\Rightarrow x=\frac{t^2+1}{2}$

$A=\sqrt{\frac{t^2+1}{2}+t}-\sqrt{\frac{t^2+1}{2}-t}$

$A=\sqrt{\frac{(t+1)^2}{2}}-\sqrt{\frac{(t-1)^2}{2}}$

$A=\frac{t+1}{\sqrt{2}}-\frac{\left | t-1 \right |}{\sqrt{2}}$

Xét $t\geq 1$ thì 

$A=\frac{t+1}{\sqrt{2}}-\frac{t-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Xét $t< 1$ thì :

$A=\frac{t+1}{\sqrt{2}}-\frac{1-t}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}t=\sqrt{4x-2}$

Cách 3: Bình phương 2 vế :

 $A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$

$A^2=x+\sqrt{2x-1}+x-\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x^2-(\sqrt{2x-1})^2}$

$A^2=2x-2\left | x-1 \right |$

Xét $x\geq 1$ thì $A^2=2x-2(x-1)=2$ mà A>0 nên $A=\sqrt{2}$

Xét $x< 1$ thì $A^2=2x-2(1-x)=4x-2$ nên $A=\sqrt{4x-2}$

II.Căn bậc ba;

Một số cách phân tích:

Cách 1 : Xét ví dụ : 

$A=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}$

Nhận xét rằng A phải viết được dưới dạng $A=\sqrt[3]{(a+b)^{3}}\Rightarrow A^{3}=(a+b)^{3}=a(a^{2}+3b^{2})+b(b^{2}+3a^{2})\Rightarrow 44+18\sqrt{6}=a(a^{2}+3b^{2})+b(b^{2}+3a^{2})$

Ta cứ lấy giá trị sau : $18\sqrt{6}=a(a^{2}+3b^{2})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & a=\sqrt{6} & \\ & a^{2}+3b^{2}=18 & \end{matrix}\right. \Rightarrow a=\sqrt{6},b=2$ Suy ra $A=2+\sqrt{6}$

Cách 2 :$\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$=$\sqrt[3]{(c+\sqrt{d})^3}$=$c+\sqrt{d}$

Giải phương trình $3c(\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}-c)^2+c^3=a$

=> tìm được $c$ sau đó tìm $d$

Một số cách giải các bài toán căn bậc 3 :

ví dụ 4: Rút gọn :

$A=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}+\sqrt[3]{44-18\sqrt{6}}$

Cách 1: Xét 

$A^3=44+18\sqrt{6}+44-18\sqrt{6}+3.A.\sqrt[3]{44^2-(18\sqrt{6})^2}=88+3.A.-2$

$A^3+6A-88=0$

$(A^2+4A+22)(A-4)=0$

Vậy: 

$A=4$

Cách 2: Rút gọn từng vế trong căn:

$\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}=2+\sqrt{6}$ ; $\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}=2-\sqrt{6}$ nên $A=4$

III. Bài tập áp dụng:

 Rút gọn các biểu thức sau :

$A=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

$B=\frac{(5+2\sqrt{6})(49-20\sqrt{6})\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}$

$C=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}$

$D=(\sqrt{3}-1)\sqrt{6+2\sqrt{2}.\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 27-10-2013 - 21:23


#80
nkoknghichngom

nkoknghichngom

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

đóng góp bài cko m.n nek
 tìm số tự nhiên abcde sao cho $\sqrt[3]{abcde}$ =ab
p/s: abcde, ab là số nka


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nkoknghichngom: 13-10-2013 - 21:44





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh