Cách phân tích căn bậc 2 , bậc 3
I. Căn bậc 2
Khi phân tích căn bậc 2 , ta thường chuyển về dạng $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{(c+d)^2}$ để từ đó làm mất dấu căn lớn ở ngoài
tức là ta sẽ đi tạo thành hằng đẳng thức $\sqrt{(c+d)^2}=\sqrt{c^2+2cd+d^2}$. Thử các ví dụ sau :
Ví dụ 1: Rút gọn:
$A=\sqrt{8-2\sqrt{15}}-\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
Giải:
Chúng ta cần chuyển về dạng $\sqrt{(c+d)^2}=\sqrt{c^2+2cd+d}$ .Trước tiên nhìn vào hệ số 2ab là $2\sqrt{15}$ .
Thấy được : $2\sqrt{15}=2.\sqrt{3}.\sqrt{5}$
nên dự đoán hệ số c,d bằng 3,5. Thay vào ta được :
$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3+2.\sqrt{3}.\sqrt{5}+5}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{5}$
Tương tự :
$\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{3-2.\sqrt{3}.\sqrt{5}+5}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
Vậy :
$A=\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$
Ví dụ 2 : Rút gọn:
$$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$$
Giải:
Trước tiên ra rút gọn $29-12\sqrt{5}$
xét hệ số $2cd$ là $12\sqrt{5}$
Ta có các khả năng sau:
1.$12\sqrt{5}=2.6.\sqrt{5}$
nhưng nếu cho hệ số $c$ là $6$ , $d$ là $\sqrt{5}$ thì $c^2+d^2=41$ $\Rightarrow$ loại trường hơp này
2. $12\sqrt{5}=2.2.3\sqrt{5}$
nhưng nếu cho hệ số $c=3\sqrt{5}$, $d=2$ thì $c^2+d^2=49$ $\Rightarrow$ loại trường hơp này
3. $12\sqrt{5}=2.3.2\sqrt{5}$
thử thay $c=3,d=2\sqrt{5}$ thì ta thấy $c^2+d^2=29$, đúng
nên
$\sqrt{29-12\sqrt{5}}=\sqrt{20-2.3.2\sqrt{5}+9}=\sqrt{(2\sqrt{5}-3)^2}=2\sqrt{5}-3$
Thay vào bài toán :
$$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}$$
Tiếp theo ra xét :
$\sqrt{6-2\sqrt{5}}$
Xét hệ số $2cd$ là $2\sqrt{5}=2.\sqrt{5}.1$ thì $c^2+d^2=6$ thoả
thay vào bài toán ta được :
$\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=\sqrt{5}-1$
Vậy :
$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}=1$
Một số cách giải các bài toán căn bậc 2 :
ví dụ 3: Rút gọn biểu thức :
$A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$
Giải: ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$
Cách 1: Ta nhân thêm $\sqrt{2}$ vào biểu thức để tạo hằng đẳng thức. Tai sao?
Ở đây ta thấy có hệ số $cd$ chứ chưa có hệ số $2cd$ vì thế ta nghĩ đến việc nhân thêm $\sqrt{2}$ vào biểu thức
Xét :
$\sqrt{2}A=\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-\sqrt{2x-1}}$
$\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1+2\sqrt{2x-1}+1}-\sqrt{2x-1-\sqrt{2x-1}+1}$
$\sqrt{2}A=\sqrt{(\sqrt{2x-1}+1)^2}-\sqrt{(\sqrt{2x-1}-1)^2}=\sqrt{2x-1}+1-\left | \sqrt{2x-1}-1 \right |$
Xét trường hợp để phá trị tuyệt đối:
+Xét $x\geq 1$ thì $\left | \sqrt{2x-1}-1 \right |=\sqrt{2x-1}-1$
thì $\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1}+1-(\sqrt{2x-1}-1)=2\Rightarrow A=\sqrt{2}$
+Xét $\frac{1}{2}\leq x\leq 1$
thì $\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1}+1-(1-\sqrt{2x-1})=2\sqrt{2x-1}\Rightarrow A=\sqrt{4x-2}$
Cách 2: Đặt vế căn nhỏ làm ẩn phụ:
Xét :
$A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$
Đặt $\sqrt{2x-1}=t\Rightarrow t^2=2x-1\Rightarrow x=\frac{t^2+1}{2}$
$A=\sqrt{\frac{t^2+1}{2}+t}-\sqrt{\frac{t^2+1}{2}-t}$
$A=\sqrt{\frac{(t+1)^2}{2}}-\sqrt{\frac{(t-1)^2}{2}}$
$A=\frac{t+1}{\sqrt{2}}-\frac{\left | t-1 \right |}{\sqrt{2}}$
Xét $t\geq 1$ thì
$A=\frac{t+1}{\sqrt{2}}-\frac{t-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
Xét $t< 1$ thì :
$A=\frac{t+1}{\sqrt{2}}-\frac{1-t}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}t=\sqrt{4x-2}$
Cách 3: Bình phương 2 vế :
$A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$
$A^2=x+\sqrt{2x-1}+x-\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x^2-(\sqrt{2x-1})^2}$
$A^2=2x-2\left | x-1 \right |$
Xét $x\geq 1$ thì $A^2=2x-2(x-1)=2$ mà A>0 nên $A=\sqrt{2}$
Xét $x< 1$ thì $A^2=2x-2(1-x)=4x-2$ nên $A=\sqrt{4x-2}$
II.Căn bậc ba;
Một số cách phân tích:
Cách 1 : Xét ví dụ :
$A=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}$
Nhận xét rằng A phải viết được dưới dạng $A=\sqrt[3]{(a+b)^{3}}\Rightarrow A^{3}=(a+b)^{3}=a(a^{2}+3b^{2})+b(b^{2}+3a^{2})\Rightarrow 44+18\sqrt{6}=a(a^{2}+3b^{2})+b(b^{2}+3a^{2})$
Ta cứ lấy giá trị sau :
$18\sqrt{6}=a(a^{2}+3b^{2})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & a=\sqrt{6} & \\ & a^{2}+3b^{2}=18 & \end{matrix}\right. \Rightarrow $a=\sqrt{6} ; b=2$
Suy ra $A=2+\sqrt{6}$
Cách 2 : $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$=$\sqrt[3]{(c+\sqrt{d})^3}$=$c+\sqrt{d}$
Giải phương trình $3c(\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}-c)^2+c^3=a$
=> tìm được $c$ sau đó tìm $d$
Một số cách giải các bài toán căn bậc 3 :
ví dụ 4: Rút gọn :
$A=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}+\sqrt[3]{44-18\sqrt{6}}$
Cách 1: Xét
$A^3=44+18\sqrt{6}+44-18\sqrt{6}+3.A.\sqrt[3]{44^2-(18\sqrt{6})^2}=88+3.A.-2$
$A^3+6A-88=0$
$(A^2+4A+22)(A-4)=0$
Vậy:
$A=4$
Cách 2: Rút gọn từng vế trong căn:
$\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}=2+\sqrt{6}$ ; $\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}=2-\sqrt{6}$ nên $A=4$
III. Bài tập áp dụng:
Rút gọn các biểu thức sau :
$A=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
$B=\frac{(5+2\sqrt{6})(49-20\sqrt{6})\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}$
$C=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}$
$D=(\sqrt{3}-1)\sqrt{6+2\sqrt{2}.\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}}$
Chém câu dê nhất
Vì lý do kỹ thuật, mình xét tử thức trước:
$=2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{12}-1}}=2\sqrt{3+\sqrt{3}-1}=\sqrt{2(4+2\sqrt{3})}=\sqrt{2(\sqrt{3}+1)^2}=(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}$
$=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
Kết hợp với mẫu ta có: $A=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=1$