Chủ đề này có 1 trả lời

[donghaidhtt]

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$, 1 cung tròn $MN$ có độ dài $R$ di động trên đường tròn. $AM$ cắt $BN$ tại $H$, $AN$ cắt $BM$ tại $K$. Tìm quỹ tích trọng tâm $G$ của tam giác $AHK$

[perfectstrong]

Lời giải:

Đặt $\alpha=60^o$. Dễ thấy $\triangle OMN$ đều. Có đúng 2 vị trí $N_1,N_2$ trên $(O)$ sao cho $MN_1=MN_2=MO$ và \[
\left( {\overrightarrow {MN_i } ;\overrightarrow {MO} } \right) \equiv \left( { - 1} \right)^i \alpha \left( {\bmod 2\pi } \right),i = 1,2
\]
Với $N_i$, ta dựng ra $H_i,K_i,G_i$ như yêu cầu bài toán. Gọi $P_i$ là trung điểm $H_iN_i$ thì dễ thấy $$\overrightarrow{AG_i}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AP_i} \quad (*)$$

Mặt khác:\[
\left( {MP_i ;MO} \right) \equiv \left( {MP_i ;MB} \right) + \left( {MB;MO} \right) \equiv \left( {K_i M;K_i P_i } \right) + \left( {BO;BM} \right) \equiv \frac{\pi }{2}\pmod{\pi}
\]

Do đó $MP_i \perp MO$. Tương tự, $N_iP_i \perp N_iO$. Từ đó $OP_i=\dfrac{OM}{\cos \dfrac{\alpha}{2}}$.

Như vậy, quỹ tích của $P_1,P_2$ là đường tròn $(\omega)$ có tâm $O$, bán kính $\dfrac{R}{\cos \dfrac{\alpha}{2}}$.

Từ (*), ta có \[
V_A^{\frac{2}{3}} :P_i  \mapsto G_i  \Rightarrow \left( \omega  \right) \to \left( {\omega '} \right) = \left( {O;\frac{2}{3}.\frac{R}{{\cos \frac{\alpha }{2}}}} \right)
\]
Vậy quỹ tích của $G$ là đường tròn $\left( {O;\frac{2}{3}.\frac{R}{{\cos \frac{\alpha }{2}}}} \right)$