Chủ đề này có 8 trả lời

[LittleAquarius]

Bài 1: (5đ)
1/ Tính: $\frac{(2013^{2}-2019).(2013^{2}+4026-3).2014}{2010.2012.2015.2016}$

2/ Giả sử $\frac{4^{5}+4^{5}+4^{5}+4^{5}}{3^{5}+3^{5}+3^{5}}.\frac{6^{5}+6^{5}+6^{5}+6^{5}+6^{5}+6^{5}}{2^{5}+2^{5}}=2^{n}$
Hãy tìm số nguyên dương $n$.

Bài 2: (3đ)
Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho có thể viết $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$ với $a,b$ là các số nguyên dương.

Bài 3: (4đ)
1/ Tìm giá trị của $m$ để phương trình sau có nghiệm âm: $\frac{2x-3(m+1)}{x+1}=1$

2/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $M = (3x-1)^{2}-4|3x-1|+5$

Bài 4: (4đ)
Chứng minh rằng với các số $x,y,z\geqslant 2$ thì: $(x+y^{3})(y+z^{3})(z+x^{3})\geqslant 125xyz$

Bài 5: (4đ)
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Điểm $H$ là trung điểm của $BC$. Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AC$ và $O$ là trung điểm của $HI$. Chứng minh:

a) Tam giác $BIC$ đồng dạng với tam giác $AOH$.
b) $AO$ vuông góc với $BI$.
c) Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $B$ cắt đường thẳng $AC$ tại $K$. Chứng minh: $\frac{S_{BHI}}{S_{HAK}}=\frac{BC^{2}}{4.AH^{2}}$

 

Thời gian thi: 150 phút

[Hoang Tung 126]

Bài 4: Theo bđt côsi ta có :$(x+y^3)(y+z^3)(z+x^3)=(x+\frac{y^3}{4}+\frac{y^3}{4}+\frac{y^3}{4}+\frac{y^3}{4})(y+\frac{z^3}{4}+\frac{z^3}{4}+\frac{z^3}{4}+\frac{z^3}{4})(z+\frac{x^3}{4}+\frac{x^3}{4}+\frac{x^3}{4}+\frac{x^3}{4})\geq 5.\sqrt[5]{\frac{x.y^12}{4^4}}.5\sqrt[5]{\frac{yz^12}{4^4}}.5\sqrt[5]{\frac{z.x^12}{4^4}}=125.xyz.\sqrt[5]{\frac{x^8y^8z^8}{4^12}}\geq 125.xyz.5\sqrt[5]{\frac{2^8.2^8.2^8}{4^12}}= 125xyz$( Do $x\geq 2,y\geq 2,z\geq 2$) .Dấu = xảy ra khi $x=y=z=2$

[duongtoi]

Bài 1: (5đ)
1/ Tính: $\frac{(2013^{2}-2019).(2013^{2}+4026-3).2014}{2010.2012.2015.2016}$

2/ Giả sử $\frac{4^{5}+4^{5}+4^{5}+4^{5}}{3^{5}+3^{5}+3^{5}}.\frac{6^{5}+6^{5}+6^{5}+6^{5}+6^{5}+6^{5}}{2^{5}+2^{5}}=2^{n}$
Hãy tìm số nguyên dương $n$.

Bài 1:

1/ Ta có $2013^2-2019=2013^3-2013-6=(2013-3)(2013+2)=2010.2015$ và $2013^{2}+4026-3=2013^2+2.2013-3=(2013-1)(2013+3)=2012.2016$

Vậy $A=\frac{2010.2015.2012.2016.2014}{2010.2012.2015.2016}$

$= 2014$.

2/ Ta có $\frac{4^{5}+4^{5}+4^{5}+4^{5}}{3^{5}+3^{5}+3^{5}}.\frac{6^{5}+6^{5}+6^{5}+6^{5}+6^{5}+6^{5}}{2^{5}+2^{5}}=\frac{4^6}{3^6}.\frac{6^6}{2^6}=4^6$

Thay giả thiết ta có $2^n=4^6=2^{12}$

Vậy $n=12$

[duongtoi]

Bài 3: Phần 1 thì quá đơn giản rồi, nhưng chú ý trường hợp $x=-1$.

Phần 2 thì thấy vô lý quá. Ta có $M=t^2-4t+5$ với $t=|3x-1|\ge 0$ thì chỉ có giá trị nhỏ nhất, không thể tìm được giá trị lớn nhất (Bằng $+\infty$)

[duongtoi]

bài 5

Hình gửi kèm

• 

[LittleAquarius]

Bài 3: Phần 1 thì quá đơn giản rồi, nhưng chú ý trường hợp $x=-1$.

Phần 2 thì thấy vô lý quá. Ta có $M=t^2-4t+5$ với $t=|3x-1|\ge 0$ thì chỉ có giá trị nhỏ nhất, không thể tìm được giá trị lớn nhất (Bằng $+\infty$)

phần 2 k sai đề đâu, đề bài đúng là như vậy đấy, cũng có nhiều nguời nghĩ là sai đề

[Vu Thuy Linh]

Bài 2: (3đ)

Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho có thể viết $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$ với $a,b$ là các số nguyên dương.
 

ko bik đúg ko:

$\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{1}{p}\Rightarrow pa^{2}+pb^{2}-a^{2}b^{2}=0$

$\Leftrightarrow a^{2}(p-b^{2})-p(p-b^{2})+p^{2}=0$

$(a^{2}-p)(b^{2}-p)=p^{2}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} p^{2}\vdots (a^{2}-p)\\ p^{2}\vdots \left (b^{2}-p \right ) \end{matrix}\right.$

Mà $Ư(p^{2})\in {\pm 1;\pm p;\pm p^{2}}$...

Đến đây xét các trường hợp

[dinhthanhhung]

 

Bài 2: (3đ)
Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho có thể viết $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$ với $a,b$ là các số nguyên dương.
 

 

$p(a^2+b^2)=a^2b^2$ nên giả sử $a$ chia hết $p$

$(p^2x^2+b^2)=px^2b^2$ với $a=px$ , có ngay $b$ chia hết $p$

Với $a=px$ , $b=py$ (x,y nguyên dương) có $p=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq 2$

Sau một số bước biến đổi $(2x^2-1)(2y^2-1)\leq 1$ có ngay $x=y=1$ và $p=2$

[doanlemanhtung191199]

phần 2 k sai đề đâu, đề bài đúng là như vậy đấy, cũng có nhiều nguời nghĩ là sai đề

Nếu không sai đề thì bạn tìm Max đi