Chủ đề này có 2 trả lời

[Messi10597]

Cho phương trình $x+y+z=100$ (1)

a. Tìm số nghiệm nguyên ko âm của (1)

b.Tìm số nghiệm nguyên của (1) thỏa $x>1;y>2;z>3$

 

[hxthanh]

Cho phương trình $x+y+z=100$ (1)

a. Tìm số nghiệm nguyên ko âm của (1)

b.Tìm số nghiệm nguyên của (1) thỏa $x>1;y>2;z>3$

Xét phương trình $x+y+z=n\quad(1')$

$\fbox a$

Số nghiệm nguyên không âm của $(1')$ tương đương với số nghiệm nguyên dương của $x'+y'+z'=n+3$ là $C_{n+2}^2$ (Bài toán chia kẹo Euler)

Ở đây $n=100$ nên suy ra Đáp số: $C_{102}^2$

 

Cách khác:

$\fbox a$

Ứng với mỗi $z=n-x-y$ thì $x$ chạy từ $0$ đến $n$ còn $y$ chạy từ $0$ đến $n-x$.Nên:

$S_n=\sum_{x=0}^n\sum_{y=0}^{n-x}1=\sum_{x=0}^n (n-x+1)=(n+1)(n+1)-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}=C_{n+2}^2$

 

$\fbox b$

Đặt $a=x-2;\;b=y-3;\; c=z-4$ như vậy $a,b,c$ đều không âm. Khi đó:

$a+b+c=91$

Với $n=91$ thì Đáp số: $C_{93}^2$

[Thanh Vinh ND]

Xét phương trình $x+y+z=n\quad(1')$

$\fbox a$

Số nghiệm nguyên không âm của $(1')$ tương đương với số nghiệm nguyên dương của $x'+y'+z'=n+3$ là $C_{n+2}^2$ (Bài toán chia kẹo Euler)

Ở đây $n=100$ nên suy ra Đáp số: $C_{102}^2$

 

Cách khác:

$\fbox a$

Ứng với mỗi $z=n-x-y$ thì $x$ chạy từ $0$ đến $n$ còn $y$ chạy từ $0$ đến $n-x$.Nên:

$S_n=\sum_{x=0}^n\sum_{y=0}^{n-x}1=\sum_{x=0}^n (n-x+1)=(n+1)(n+1)-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}=C_{n+2}^2$

 

$\fbox b$

Đặt $a=x-2;\;b=y-3;\; c=z-4$ như vậy $a,b,c$ đều không âm. Khi đó:

$a+b+c=91$

Với $n=91$ thì Đáp số: $C_{93}^2$