Chủ đề này có 1 trả lời

[motdaica]

Cho hàm số ($C_{m}$):$\frac{1}{3}x^{3}-mx^{2}-x-m+1$.Tìm m để khoảng cách giữa hai cực trị hàm số là nhỏ nhất.

[25 minutes]

Cho hàm số ($C_{m}$):$\frac{1}{3}x^{3}-mx^{2}-x-m+1$.Tìm m để khoảng cách giữa hai cực trị hàm số là nhỏ nhất.

Xét $y=\frac{x^3}{3}-mx^2-x-m+1$

$\Rightarrow y'=x^2-2mx-1$

Khi đó hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu ( do phương trình $y'=0$ luôn luôn có $2$ nghiệm )

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-1 \end{matrix}\right.$

Khoảng cách giữa $2$ điểm cực là

      $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+\left [ (\frac{x_1^3}{3}-mx_1^2-x_1-m+1)-(\frac{x_2^3}{3}-mx_2^2-x_2-m+1) \right ]^2}$

$\Rightarrow d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+\left [ \frac{x_1^3-x_2^3}{3}-m(x_1^2-x_2^2)-(x_1-x_2) \right ]^2}$

$\Rightarrow d=\sqrt{(x_1-x_2)^2\left \{ 1+\left [ \frac{x_1^2+x_1x_2+x_2^2}{3}-m(x_1+x_2)-1 \right ] ^2\right \}}$

$\Rightarrow d=\sqrt{(4m^2+4)\left [ 1+(\frac{2m^2+2}{3})^2 \right ]}$

Đặt $\frac{2m^2+2}{3}=t\geqslant \frac{2}{3}\Rightarrow d=\sqrt{6t(1+t^2)}\geqslant \frac{2\sqrt{13}}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $t=\frac{2}{3}\Rightarrow m=0$