Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ Tìm $g(x)=f^{[n]}(x)$

mhb

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-09-2013 - 07:00

Cho hàm số $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. $\qquad$ Tìm $g(x)=\underbrace{f(f(...f}_{2013}(x)...))$


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 21-09-2013 - 12:33



Cho hàm số $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. $\qquad$ Tìm $g(x)=\underbrace{f(f(...f}_{2013}(x)...))$

Kí hiệu $f^{[m]}(x)=\underbrace{f(f(...f}_{m}(x)...))$

Dễ thấy $x>0\Rightarrow f(x)>0,x<0\Rightarrow f(x)<0,x=0\Rightarrow f(x)=0$

Với $x>0$

Viết lại $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}$

Nên $f(f(x))=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{(f(x))^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{ \left(\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}} \right )^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{2+\dfrac{1}{x^2}}}$

Chứng minh theo qui nạp rằng $f^{[n]}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{n+\dfrac{1}{x^2}}},\forall n\in \mathbb{N}$

Giả sử đúng với $n=k$ ta chứng minh nó đúng với $n=k+1$

Thật vậy $f^{[k+1]}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{(f^{[k]}(x))^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{ \left(\dfrac{1}{\sqrt{k+\dfrac{1}{x^2}}} \right)^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{k+1+\dfrac{1}{x^2}}}$

Vậy $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2013+\dfrac{1}{x^2}}},\forall x>0$

Với $x=0$ thì dễ thấy $g(x)=0$

Với $x<0$ thì viết lại $f(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}$ rồi chứng minh tương tự trường hợp $x>0$ :))

Cuối cùng thì hàm $g$ cần tìm là $g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{2013x^2+1}}$


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mhb

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh