Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc Gia tỉnh Bắc Giang
Năm học 2013-2014
Thời gian : 180 phút
Câu 1(4 điểm)
Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-8x+2(x-1)\sqrt{x^{2}-2x+2}=2(y+2)\sqrt{y^{2}+4y+5} & & \\ x^{2}+2y^{2}=4x-8y-6 & & \end{matrix}\right.$
Câu 2(4 điểm)
Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.CMR
$a\sqrt{\frac{b+c}{a^{2}+bc}}+b\sqrt{\frac{c+a}{b^{2}+ca}}+c\sqrt{\frac{a+b}{c^{2}+ab}}\leq \frac{3}{abc}$
Câu 3(4 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có $\angle ABC<\angle BAC$.Trên đường thẳng $BC$ lấy điểm $D$ thỏa mãn $\angle CAD=\angle ABC$.Đường tròn $(O)$ bất kì đi qua $B,D$ cắt $AB,AD$ lần lượt tại $M,N$ .Kẻ hai tiếp tuyến $AP,AQ$ với $(O)$ ,$P,Q$ thuộc $(O)$ .Gọi $G$ là giao điểm của $BN$ và $DM$,gọi $I$ là trung điểm của $AG$.
a/ CMR : $P,Q,G$ thẳng hàng.
b/ CMR : $CI$ vuông góc với $AG$.
Câu 4(4 điểm)
Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn
$\left\{\begin{matrix} x_{1}=0,x_{2}=1 & & \\ x_{n+1}=\frac{3x_{n-1}+2}{10x_{n}+2x_{n-1}+2},n\geq 2 & & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ có giới hạn và tìm $lim x_{n}$
Câu 5(4 điểm)
Tìm cặp các số nguyên $(a,b)$ sao cho
$\frac{b^{2}+ab+a+b-1}{a^{2}+ab+1}$
là một số nguyên.