Chủ đề này có 6 trả lời

[saovangQT]

1)cho $a^3$+$b^3$=2

chứng minh rằng $a+b\leqslant 2$

2) giải phương trình

$(x^2-x+1)^4-10(x^2-x+1)^2+9x^4=0$

[Near Ryuzaki]

1)cho $a^3$+$b^3$=2

chứng minh rằng $a+b\leqslant 2$

 

Giả sử a+b >2 thì $a^3+b^3+3ab(a+b)>8$

$\Leftrightarrow ab(a+b)>2$

$\Leftrightarrow ab(a+b)>a^3+b^3$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)<0$

vô lý nên $a+b\leq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 22-09-2013 - 15:01

[thuan192]

1)cho $a^3$+$b^3$=2

chứng minh rằng $a+b\leqslant 2

giả sử a+b>2

     <=>a>2-b

    <=>$a^{3}> \left ( 2-b \right )^{3}$

     <=>$a^{3}> 8-12b+6b^{2}-b^{3}$

      <=>2>$ 8-12b+6b^{2}$

       <=>0>$ 6-12b+6b^{2}$

      <=>0>$ 1-2b+b^{2}$  (vô lý)

             Vậy $ a+b\leqslant2$

                      dấu = xảy ra khi a=b=1

[thuan192]

Giả sử a+b >2 thì $a^3+b^3+3ab(a+b)>8$

$\Leftrightarrow ab(a+b)>2$

$\Leftrightarrow ab(a+b)>a^3+b^3$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)<0$

vô lý nên $a+b\leq 2$

lập luận của sieusieu90 không chặt rồi vì a,b đâu có dương

[canhhoang30011999]

1)cho $a^3$+$b^3$=2

chứng minh rằng $a+b\leqslant 2$

2) giải phương trình

$(x^2-x+1)^4-10(x^2-x+1)^2+9x^4=0$

$a^{3}+b^{3}= 2$

$\Rightarrow \left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab +b^{2}\right )= 2$

do $a^{2}-ab +b^{2}\geq 0$$\Rightarrow a+b\leq 2$

 

lập luận của sieusieu90 không chặt rồi vì a,b đâu có dương

với a,b âm thì bđt hiển nhiên đúng

[trandaiduongbg]

1)cho $a^3$+$b^3$=2

chứng minh rằng $a+b\leqslant 2$

2) giải phương trình

$(x^2-x+1)^4-10(x^2-x+1)^2+9x^4=0$

Mình nghĩ đề là: $(x^2-x+1)^4$-$10x^2(x^2-x+1)^2$+$9x^4=0$ thì đúng hơn nhưng nếu đề như thế này cũng lầm đc:

Đặt $x^2-x+1=a$

$\Rightarrow$ a>0

PT $\Leftrightarrow$ $a^4-a^2+9x^4=0$

$\Leftrightarrow$ $(a-1)(a^3+a)+9(x^2-a)(x^2+a)=0$

$\Leftrightarrow$ $(x^2-x+1-1)(a^3+a)+9(x^2-x^2+x-1)(x^2+a)=0$

$\Leftrightarrow$ $x(x-1)(a^3+a)+9(x-1)(x^2+a)=0$

$\Leftrightarrow$ $(x-1)(a^3x+ax+9x^2+9a)=0$

$\Leftrightarrow$ x=1

[black zero 1999]

Nếu a, b không âm thì tớ có cách nữa đây: 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm, ta có:

$1+a^{3}+a^{3}\geq 3 \sqrt[3]{1.a^{3}.a^{3}}= 3a^{2}$(1)

$1+b^{3}+b^{3}\geq 3 \sqrt[3]{1.b^{3}.b^{3}}= 3b^{2}$(2)

Cộng (1) với (2) $\Rightarrow 1+ a^3+b^3+1+a^3+a^3 \geq 3a^2+3b^2$(*)

Thay $a^3+b^3=2$ vào (*) $\Rightarrow 6\geq 3(a^2+b^2)$ 

$\Rightarrow (a^2+b^2)\leq 2 \Rightarrow $đpcm.