Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tìm toạ độ của $P$ trong hình vuông $P_1P_2P_3P_4$

mhb

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-09-2013 - 11:01

Trong mặt phẳng toạ độ $xOy$, cho hình vuông $P_1P_2P_3P_4$ có toạ độ các đỉnh lần lượt là: $P_1(1,0); \; P_2(1,1);\;P_3(0,1);\;P_4(0,0)$. Xây dựng đường gấp khúc sau: $P_5$ là trung điểm của $P_1P_2$; $P_6$ là trung điểm của $P_2P_3$; $P_7$ là trung điểm của $P_3P_4$ ... Bằng cách đó ta dựng được đường gấp khúc vô hạn $P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 P_7P_8...$ hội tụ về một điểm $P$ trong hình vuông $P_1P_2P_3P_4$. (xem hình)

polygon.png

 

$\fbox a$ Gọi điểm thứ $n$ trên đường gấp khúc là $P_n(x_n,y_n)$. Chứng minh rằng $\frac{1}{2}x_n+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}=2$. Tìm toạ độ $y_n$.

$\fbox b$ Tìm toạ độ của điểm $P$


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#2 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 07-07-2014 - 18:59

Trong mặt phẳng toạ độ $xOy$, cho hình vuông $P_1P_2P_3P_4$ có toạ độ các đỉnh lần lượt là: $P_1(1,0); \; P_2(1,1);\;P_3(0,1);\;P_4(0,0)$. Xây dựng đường gấp khúc sau: $P_5$ là trung điểm của $P_1P_2$; $P_6$ là trung điểm của $P_2P_3$; $P_7$ là trung điểm của $P_3P_4$ ... Bằng cách đó ta dựng được đường gấp khúc vô hạn $P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 P_7P_8...$ hội tụ về một điểm $P$ trong hình vuông $P_1P_2P_3P_4$. (xem hình)
attachicon.gifpolygon.png
 
$\fbox a$ Gọi điểm thứ $n$ trên đường gấp khúc là $P_n(x_n,y_n)$. Chứng minh rằng $\frac{1}{2}x_n+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}=2$. Tìm toạ độ $y_n$.
$\fbox b$ Tìm toạ độ của điểm $P$


 
Để đơn giản, ta có thể dùng tọa độ phức cho bài toán này và sử dụng các chữ cái nhỏ (vd, $p$) cho các điểm (vd, $P$), ta có công thức:
$\left\{\begin{matrix}
p_1=1, p_2=1+i, p_3=i, p_4=0
\\ p_{n+4}=\frac{p_n+p_{n+1}}{2}\Leftrightarrow 2p_{n+4}-p_{n+1}-p_{n}=0
\end{matrix}\right.$

Xét phương trình đặc trưng:
$2 \lambda ^4-\lambda-1=0\\ \Leftrightarrow (\lambda -1)(2 \lambda ^3+2 \lambda ^2+2 \lambda +1)=0\\ \Leftrightarrow \lambda =1 {v} 2 \lambda ^3+2 \lambda ^2+2 \lambda +1=0$

Ta có công thức tổng quát cho dãy $p_n$:
$p_n=a+a_1 \lambda _1 ^n+a_2 \lambda _2 ^n+a_3 \lambda _3 ^n$
(Trong đó, $\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3$ là các nghiệm của phương trình $2 \lambda ^3+2 \lambda ^2+2 \lambda +1=0$ $(1)$, và dễ thấy, $1^n=1\forall n\in N$)

Ta giải câu $\fbox b$ trước tiên:

Tọa độ phức của $P$ là: $p=\lim_{n \to \infty} p_n=a+a_1 \lim_{n \to \infty} \lambda _1^n+a_2 \lim_{n \to \infty} \lambda _2^n+a_3 \lim_{n \to \infty} \lambda _3^n$

Ta sẽ chứng minh $|\lambda _i|<1$ :
Ta có phương trình $(1)$ phải có 1 nghiệm thực (lấy là $\lambda _1$) và cặp nghiệm phức liên hợp ($\lambda _2$ và $\lambda _3$) do với $f(x)=2 x^3+2 x^2+2 x+1$, $f'(x)=6 x^2+4 x+2=4 x^2+2(x+1)^2>0\forall x$.

Với $f(-1)=-1<0$ và $f(-0.5)=0.25>0$, ta có: $-1<\lambda _1<-0.5$ $\left(0.5<|\lambda _1|<1\right)$

Theo định lí Viette, ta lại có: $\lambda _1 \lambda _2 \lambda _3=-\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \lambda _2 \lambda _3=|\lambda _2|^2=|\lambda _3|^2=\frac{-0.5}{\lambda _1}<1$ (cặp nghiệm phức liên hợp)

Theo đó, ta có $|\lambda _i|<1\forall i$

Vì vậy, $p=\lim_{n \to \infty} p_n=a+a_1 \lim_{n \to \infty} \lambda _1^n+a_2 \lim_{n \to \infty} \lambda _2^n+a_3 \lim_{n \to \infty} \lambda _3^n=a$

Ta lại có: $2p_3+2p_2+2p_1+p_0=7a+\sum_ia_i(2\lambda _i^3+2\lambda _i^2+2\lambda _i+1)$
Theo đó: $p=a=\frac{2p_3+2p_2+2p_1+p_0}{7}=\frac{3}{7}+i \frac{4}{7}$
($p_0=2p_4-p_1=-1$)

Tọa độ của $P$ là: $\left(\frac{3}{7}, \frac{4}{7}\right)$

Câu $\fbox a$:

Với công thức $p_n=a+a_1 \lambda _1 ^n+a_2 \lambda _2 ^n+a_3 \lambda _3 ^n$, lấy:
$z_n=p_n-a=a_1 \lambda _1 ^n+a_2 \lambda _2 ^n+a_3 \lambda _3 ^n$, theo đó, ta có công thức truy hồi của $z_n$ là:
$2z_{n+3}+2z_{n+2}+2z_{n+1}+z_{n}=0$
Thế lại $p_n$, ta có:
$2p_{n+3}+2p_{n+2}+2p_{n+1}+p_{n}=7a=3+4i\\\Leftrightarrow \frac{1}{2} p_{n}+p_{n+1}+p_{n+2}+p_{n+3}=\frac{3}{2}+2i$

Theo đó:
$\frac{1}{2} x_{n}+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}=\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2} y_{n}+y_{n+1}+y_{n+2}+y_{n+3}=2$
 
Spoiler

^^~





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mhb

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh