Đến nội dung

Hình ảnh

phương tích và trục đẳng phương

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Kiến thức về phương tích và trục đẳng phương đơn giản và dễ hiểu, tuy nhiên nó có ứng dụng nhiều và thường cho lời giải khá hay đối với các bài toán chứng minh vuông góc, thẳng hàng hay các bài toán về đồng quy…Mình lập ra topic này để trao đổi thêm những bài tập liên quan đến phương tích và trục đẳng phương.

 

 

Bài 1: Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định và B, C thay đổi trên đường thẳng d cố định sao cho nếu gọi A’ là hính chiếu của A lên d thì

_____        ____

${A}'B$  x   ${A}'C$   âm và không đổi. Gọi M là hình chiếu của A’ lên AB. Gọi N là hình chiếu của A’ lên AC, K là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N. Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố định. 

 

 

 


:lol:Thuận :lol:

#2
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Bài 2: (Việt Nam 2003) Trên mặt phẳng cho hai đường tròn (O1) và (O2) cố định tiếp xúc nhau tại M và bán kính của (O2) lớn hơn bán kính của (O2). Một điểm A di chuyển trên (O­­2) sao cho 3 điểm O1, O2 và A không thẳng hàng. Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB và AC đến (O1) (B, C là hai tiếp điểm). Đường thẳng MB và MC cắt đường tròn (O2) tại E và F. Gọi giao điểm của EF với tiếp tuyến tại A của (O2) là D. Chứng minh rằng D luôn di chuyển trên một đường cố định khi A thay đổi trên (O2) mà O1, O2 và A không thẳng hàng. 

 

Bài 3: (Dự tuyển IMO 1994) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BA, CA, AB lần lượt tại D, E, F. X là một điểm bên trong tam giác ABC sao cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC cũng tiếp xúc với BD tại D, và tiếp xúc với XB, XC lần lượt tại Y, Z. Chứng minh rằng EF, YZ và BC đồng quy.


:lol:Thuận :lol:

#3
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Bài 1: Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định và B, C thay đổi trên đường thẳng d cố định sao cho nếu gọi A’ là hính chiếu của A lên d thì

_____        ____

${A}'B$  x   ${A}'C$   âm và không đổi. Gọi M là hình chiếu của A’ lên AB. Gọi N là hình chiếu của A’ lên AC, K là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N. Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố định. 

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$, $D$ là giao điểm của $AA'$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $AA'$ cắt $MN$ tại $P$, $OI$ cắt $MN$ tại $K$

Ta có:

$\overline{A'D}=\frac{\overline{A'B}.\overline{A'C}}{\overline{A'A}}=const$

Suy ra $D$ cố định

Tứ giác $PMBD$ nội tiếp, suy ra $\overline{AP}.\overline{AD}=\overline{AM}.\overline{AB}=AA'^2=const$ nên $P$ cố định

Tứ giác $PHIK$ nội tiếp, suy ra $\overline{OP}.\overline{OH}=\overline{OK}.\overline{OI}=\frac{1}{4}AA'^2=const$ nên $H$ cố định

Vậy $M$ nằm trên đường thẳng đi qua $H$ vuông góc với $AA'$ cố định



#4
nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết

bài 3 dùng hàng điểm điều hòa ra ngay



#5
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Bài 2: (Việt Nam 2003) Trên mặt phẳng cho hai đường tròn (O1) và (O2) cố định tiếp xúc nhau tại M và bán kính của (O2) lớn hơn bán kính của (O2). Một điểm A di chuyển trên (O­­2) sao cho 3 điểm O1, O2 và A không thẳng hàng. Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB và AC đến (O1) (B, C là hai tiếp điểm). Đường thẳng MB và MC cắt đường tròn (O2) tại E và F. Gọi giao điểm của EF với tiếp tuyến tại A của (O2) là D. Chứng minh rằng D luôn di chuyển trên một đường cố định khi A thay đổi trên (O2) mà O1, O2 và A không thẳng hàng.

Kẻ tiếp tuyến chung của $\left ( O_1 \right ),\left ( O_2 \right )$ $My$

Ta có: $\angle MCA=\angle CMy=\angle FMD=\angle FAM$

Do đó $\Delta FAM\sim \Delta FCA\Rightarrow FA^2=FO_1^2-R_1^2$

Tương tự, $EA^2=EO_1^2-R_1^2$

Suy ra $EF$ là trục đẳng phương của $\left ( O_1 \right )$ và đường tròn điểm tâm $\left ( A \right )$

Mà $D$ thuộc $EF$ nên $DA^2=DO_1^2-R_1^2$

Suy ra $D$ nằm trên trục đẳng phương $\left ( O_1 \right ),\left ( O_2 \right )$ cố định



#6
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Bài 3: (Dự tuyển IMO 1994) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BA, CA, AB lần lượt tại D, E, F. X là một điểm bên trong tam giác ABC sao cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC cũng tiếp xúc với BD tại D, và tiếp xúc với XB, XC lần lượt tại Y, Z. Chứng minh rằng EF, YZ và BC đồng quy.

Gọi giao điểm của $EF,YZ$ với $BC$ lần lượt là $T,T'$

Vì $AD,BE,CF$ đồng quy tại điểm Lemoine của tam giác $ABC$ nên $\left ( TDBC \right )=-1$

Tương tự, $\left ( T'DBC \right )=-1$

Suy ra $T\equiv T'$ hay $EF,YZ,BC$ đồng quy.

P/s: Lẽ ra đây là bài phương tích thì phải có câu cmr $EFYZ$ là tứ giác nội tiếp chứ nhỉ?



#7
k4x

k4x

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

 

P/s: Lẽ ra đây là bài phương tích thì phải có câu cmr $EFYZ$ là tứ giác nội tiếp chứ nhỉ?

em có cách biến đổi góc để chứng minh $EFYZ$ nội tiếp như sau:

Đặt $\angle ECZ=\alpha$ , quy ước $\angle A,\angle B,\angle C$ là các góc của tam giác $\Delta ABC$

Ta có: $\angle FEZ=\pi-\angle AEF-\angle ZEC=\pi-(\frac{\pi}{2}-\frac{\angle A}{2})-(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2})$

                              $=\frac{\angle A+\alpha}{2}$ 

$\angle FYZ=2\pi-(\angle FYB+\angle ZYD+\angle DYB)=2\pi-(\frac{\pi-\angle FBY}{2}+\frac{\pi-\angle YBD}{2}+\angle DZC)$ 

 $=2\pi-(\pi-\angle B+\frac{\pi-(\angle C-\alpha)}{2})=\frac{\pi}{2}+\frac{\angle B+\angle C-\alpha}{2}$  

Do đó $\angle FYZ +\angle FEZ=\pi$ => $EFYZ$ là tứ giác nội tiếp


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi k4x: 02-11-2016 - 14:46





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh