Chủ đề này có 6 trả lời

[sabala]

Cho dãy ${x_{n}}$ xác định bởi:
$$\left\{\begin{matrix}
x_{1}=2 & & \\ x_{n+1}=\dfrac{x_{n}^3-x_{n}^2}{2012}+x_{n}
& &
\end{matrix}\right.$$ $n=1,2,....$
Tìm $\lim\sum_{k=1}^{n}=\dfrac{x_{k}^2}{x_{k+1}-1}$  

 

[xuankhoa]

Cho dãy ${x_{n}}$ xác định bởi:
$$\left\{\begin{matrix}
x_{1}=2 & & \\ x_{n+1}=\dfrac{x_{n}^3-x_{n}^2}{2012}+x_{n}
& &
\end{matrix}\right.$$ $n=1,2,....$
Tìm $\lim\sum_{k=1}^{n}=\dfrac{x_{k}^2}{x_{k+1}-1}$  

 

 

Dễ dàng chứng minh được $x_n\geq 2$ với mọi $n$. Từ đây suy ra dãy $x_n$ tăng và $\lim x_n=+\infty$. Ngoài ra

$$x_{n+1}-1=\dfrac{x_n^2(x_n-1)}{2012}+(x_n-1)$$

Hay

$$\dfrac{1}{x_n-1}=\dfrac{x_n^2}{2012(x_{n+1}-1)}+\dfrac{1}{x_{n+1}-1}$$

Suy ra

$$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}^2}{x_{k+1}-1}=2012(\dfrac{1}{x_1-1}-\dfrac{1}{x_{n+1}-1})$$

Vậy $\lim\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}^2}{x_{k+1}-1}=2012.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuankhoa: 27-09-2013 - 19:56

[sabala]

Dễ dàng chứng minh được $x_n\geq 2$ với mọi $n$. Từ đây suy ra dãy $x_n$ tăng và $\lim x_n=+\infty$. Ngoài ra

$$x_{n+1}-1=\dfrac{x_n^2(x_n-1)}{2012}+(x_n-1)$$

Hay

$$\dfrac{1}{x_n-1}=\dfrac{x_n^2}{2012(x_{n+1}-1)}+\dfrac{1}{x_{n+1}-1}$$

Suy ra

$$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}^2}{x_{k+1}-1}=2012(\dfrac{1}{x_1-1}-\dfrac{1}{x_{n+1}-1})$$

Vậy $\lim\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}^2}{x_{k+1}-1}=2012.$

Dễ dàng chứng minh được $x_n\geq 2$ với mọi $n$

Chứng minh sao bạn?

[linhlun97]

Sử dụng quy nạp đó bạn ơi, theo mình là thế

[T M]

Dễ dàng chứng minh được $x_n\geq 2$ với mọi $n$

Chứng minh sao bạn?

 

Thực ra thì chứng minh $x_n$ là dãy tăng, nên hiển nhiên, $x_n>x_1=2$. 

[sonksnb]

Thực ra thì chứng minh $x_n$ là dãy tăng, nên hiển nhiên, $x_n>x_1=2$. 

Sao mà chứng minh tăng dược bạn.

[perfectstrong]

Sao mà chứng minh tăng dược bạn.

Bạn chứng minh quy nạp 2 điều sau một lúc:

(1) $x_n>2\,\forall n$

(2) $x_{n+1}>x_n\,\forall n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 05-10-2013 - 23:10