Cho $\bigtriangleup ABC$ nhọn. Chứng minh: $COTA+COTB+COTC\geq TAN\frac{A}{2}+TAN\frac{B}{2}+TAN\frac{C}{2}$
Chứng minh: $COTA+COTB+COTC\geq TAN\frac{A}{2}+TAN\frac{B}{2}+TAN\frac{C}{2}$
Bắt đầu bởi Albert einstein vip, 24-09-2013 - 19:09
#1
Đã gửi 24-09-2013 - 19:09
Albert einstein vip
-
- Thành viên
-
- 118 Bài viết
Trung sĩ
Làm chủ tư duy thay đổi vận mệnh
#2
Đã gửi 24-09-2013 - 19:49
Phạm Hữu Bảo Chung
-
- Thành viên
-
- 1360 Bài viết
Thượng úy
Giải
Đặt $x = \tan{\dfrac{A}{2}}, y = \tan{\dfrac{B}{2}}, z = \tan{\dfrac{C}{2}}$.
Theo giả thiết suy ra: $x, y, z > 0$.
Chú ý đẳng thức: $xy + yz + zx = \tan{\dfrac{A}{2}}\tan{\dfrac{B}{2}} + \tan{\dfrac{B}{2}}\tan{\dfrac{C}{2}} + \tan{\dfrac{C}{2}}\tan{\dfrac{A}{2}} = 1$
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$\dfrac{1 - x^2}{2x} + \dfrac{1 - x^2}{2x} + \dfrac{1 - x^2}{2x}\geq x + y + z$
$\Leftrightarrow \dfrac{ xy + yz + zx - x^2}{2x} + \dfrac{ xy + yz + zx - y^2}{2y} + \dfrac{ xy + yz + zx - z^2}{2z}\geq x + y + z $
$\Leftrightarrow \dfrac{yz}{x} + \dfrac{xz}{y} + \dfrac{xy}{z} \geq x + y + z$
Bất đẳng thức trên dễ dàng chứng minh được bằng cách nhóm: $\dfrac{yz}{x} + \dfrac{xz}{y} \geq 2z$..
- xxSneezixx yêu thích
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế 
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
