Cho $\bigtriangleup ABC$ nhọn. Chứng minh: $COTA+COTB+COTC\geq TAN\frac{A}{2}+TAN\frac{B}{2}+TAN\frac{C}{2}$
Chứng minh: $COTA+COTB+COTC\geq TAN\frac{A}{2}+TAN\frac{B}{2}+TAN\frac{C}{2}$
#1
Đã gửi 24-09-2013 - 19:09
#2
Đã gửi 24-09-2013 - 19:49
Giải
Đặt $x = \tan{\dfrac{A}{2}}, y = \tan{\dfrac{B}{2}}, z = \tan{\dfrac{C}{2}}$.
Theo giả thiết suy ra: $x, y, z > 0$.
Chú ý đẳng thức: $xy + yz + zx = \tan{\dfrac{A}{2}}\tan{\dfrac{B}{2}} + \tan{\dfrac{B}{2}}\tan{\dfrac{C}{2}} + \tan{\dfrac{C}{2}}\tan{\dfrac{A}{2}} = 1$
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$\dfrac{1 - x^2}{2x} + \dfrac{1 - x^2}{2x} + \dfrac{1 - x^2}{2x}\geq x + y + z$
$\Leftrightarrow \dfrac{ xy + yz + zx - x^2}{2x} + \dfrac{ xy + yz + zx - y^2}{2y} + \dfrac{ xy + yz + zx - z^2}{2z}\geq x + y + z $
$\Leftrightarrow \dfrac{yz}{x} + \dfrac{xz}{y} + \dfrac{xy}{z} \geq x + y + z$
Bất đẳng thức trên dễ dàng chứng minh được bằng cách nhóm: $\dfrac{yz}{x} + \dfrac{xz}{y} \geq 2z$..
- xxSneezixx yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh