Chủ đề này có 8 trả lời

[Zaraki]

Ngày 1: Ngày 24 tháng 9 năm 2013

Thời gian làm bài: 180 phút.

 

Bài 1.Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x^3+y+f(y))=2y+x^2f(x) \; \forall x,y \in \mathbb{R}$$

Bài 2. Cho dãy $\{u_n \}$ thoả mãn $u_1=2013, u_{n+1}=u_n^3-4u_n^2+5u_n \; \forall n \in \mathbb{N}^*$. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ là ước của $(u_{2014}+2009)$ và $p \equiv 3 \pmod{4}$.

Bài 3.Trong một hội nghị khoa học có $5000$ đại biểu tham dự, mỗi một đại biểu biết ít nhất một thứ tiếng. Một uỷ ban gồm một số đại biểu được gọi là uỷ ban làm việc nếu tất cả thành viên trong uỷ ban đều biết chung một thứ tiếng và được gọi là uỷ ban thách thức nếu không có hai thành viên nào của uỷ ban biết chung một thứ tiếng (uỷ ban có thể gồm $1$ thành viên; uỷ ban này gọi là làm việc cũng được, thách thức cũng được). Chứng minh rằng có thể chia các đại biểu thành đúng $100$ uỷ ban rời nhau (mỗi đại biểu thuộc đúng một uỷ ban) sao cho các uỷ ban này hoặc là uỷ ban làm việc hoặc là uỷ ban thách thức.

Bài 4. Tam giác $ABC$ có $B,C$ cố định còn $A$ di động sao cho $AB=AC$ và $\angle BAC>60^{\circ}$. Đường thẳng đối xứng với $BC$ qua $AB$ cắt $AC$ tại $P$. Trên đoạn $PC$ lấy $M$ sao cho $PM=PB$. Gọi $N$ là giao điểm của $AB$ với phân giác ngoài góc $BCA$. Chứng minh $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.

Nguồn: Mathscope

File gửi kèm

•  De thi chon doi tuyen nam 2013 - ngay thu nhat.pdf   77.38K   509 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 24-09-2013 - 20:07

[ducthinh26032011]

 

Ngày 1: Ngày 24 tháng 9 năm 2013

Thời gian làm bài: 180 phút.

 

Bài 1.Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x^3+y+f(y))=2y+x^2f(x) \; \forall x,y \in \mathbb{R}$$

 

Mình làm thử nhé ^^

$x=0:f(y+f(y))=2y$ Suy ra $f$ là song ánh

$x=y=0:f(f(0))=0$

Do $f$ song ánh nên đặt $f(0)=a$

$x=y=a:f(a^{3}+a)=2a$

$x=0,y=a:f(a)=2a$

$\Rightarrow f(a^{3}+a)=f(a)\Rightarrow a^{3}+a=a\Rightarrow a=0$ hay $f(0)=0$

$y=0:f(x^{3})=x^{2}f(x)$

$\Rightarrow f(x^3+y+f(y))=2y+x^2f(x)=2y+f(x^{3})\Rightarrow f(x+y+f(y))=2y+f(x)$

$y=x:f(2x+f(x))=2x+f(x)$

Suy ra $f(x)=x$

Thử lại,ta thấy thỏa.Vậy $f(x)=x$ là hàm cần tìm.

[123123]

Mình làm thử nhé ^^

$x=0:f(y+f(y))=2y$ Suy ra $f$ là song ánh

 

Từ điều kiện ấy mới chỉ suy ra f là toàn ánh thôi bạn ạ> 

Nếu bạn chứng minh được f là đơn ánh thì bạn có thẻ chứng minh cụ thể ra được không? Mình đang bí chỗ này.

Hoặc là có  thể chứng minh 2x+f(x) nhận giá trị trên toàn $\mathbb{R}$ cũng được.

[augustin louis cauchy]

Bài 4:

Tam giác $PBM$ cân tại $P$ 

$\Rightarrow \widehat{PBM}=\widehat{PMB}$

$\Rightarrow 2\widehat{ABC}-\widehat{MBC}= \widehat{ACB}+\widehat{MBC}$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=2\widehat{MBC}$

$\Rightarrow$ $BM$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \frac{MC}{MA}=\frac{BC}{BA}=\frac{BC}{AC}$

Lại có $CN$ là phân giác ngoài của $\widehat{ACB}$

$\Rightarrow \frac{NA}{NB}=\frac{CA}{CB}$

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ $\left ( I cố định \right )$ $\Rightarrow \frac{IB}{IC}=1$ 

Xét tam giác $ABC$ với $I$ thuộc $BC$ , $M$ thuộc $AC$ và $N$ thuộc $AB$ thì

$\frac{IB}{IC}. \frac{MC}{MA}. \frac{NA}{NB}=1.\frac{BC}{AC}.\frac{AC}{BC}=1 \Rightarrow M , N , I$ thẳng hàng

Vậy $MN$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi augustin louis cauchy: 26-09-2013 - 16:47

[Zaraki]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN TRƯỜNG PTNK - ĐHQGTPHCM

NĂM HỌC 2013-2014

Ngày thi thứ hai: 26/9/2013

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề

 

 

 

Bài 5. Cho $2014$ số thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ thỏa mãn điều kiện $\sum\limits_{i=1}^{2014}x_i=0$ và $\sum\limits_{i=1}^{2014}x_i^2=2014$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x_1x_2...x_{2014}$.

 

Bài 6. Cho dãy số $\{u_n \}$ xác định bởi: $u_1=1$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}+\sqrt{2}}, \ \forall n\in\mathbb{N^*}$.

Tìm $\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.

 

Bài 7. Cho $n$ là số nguyên dương và A là tập con khác rỗng của $X=\{1,2,...,n\}$.

Tính giá trị của tổng $S(A)=\sum\limits_{E\subset X}(-1)^{|E\cup A|}$, trong đó $E$ lấy trên tất cả các tập con của $X$ (kể cả tập rỗng).

Cho $m\in\mathbb{N^*}$, xét $m$ tập con khác rỗng của $X$ là $A_1,A_2,...,A_m$ và m số nguyên khác $0$ là $a_1,a_2,...,a_m$ sao cho $a_1+a_2+\cdots+a_m<0$. Chứng minh rằng tồn tại tập con $E$ của $X$ sao cho $\sum\limits_{E\subset X}(-1)^{|E\cup A|}a_i>0$.

(Ký hiệu $|A|$ chỉ số phần tử của tập hợp $A$, số phần tử của tập rỗng là 0).

 

Bài 8. Tam giác $ABC$ nhọn có trực tâm $H$ và $P$ là điểm di động bên trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle BPC=\angle BHC$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $AB$ cắt $PC$ tại $M$, đường thẳng qua $C$ vuông góc với $AC$ cắt $PB$ tại $N$. Chứng minh trung điểm $I$ của $MN$ luôn thuộc một đường thằng cố định.

Nguồn: Mathscope.

 

 

[BlackSelena]

Bài 8. Tam giác $ABC$ nhọn có trực tâm $H$ và $P$ là điểm di động bên trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle BPC=\angle BHC$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $AB$ cắt $PC$ tại $M$, đường thẳng qua $C$ vuông góc với $AC$ cắt $PB$ tại $N$. Chứng minh trung điểm $I$ của $MN$ luôn thuộc một đường thằng cố định.

Nguồn: Mathscope.

Nhắc lại bổ đề $E.R.I.Q$ (miễn chứng minh).

Cho 6 điểm $(A,E,B,C,F,D)$ mà $(A,E,B),(C,F,D)$ là các bộ thẳng hàng sao cho $\dfrac{\overline{EA}}{\overline{EB}} = \dfrac{\overline{FC}}{\overline{FD}}$ Khi đó trung điểm $AC, EF, PQ$ thẳng hàng.

Trở lại bài toán, vẽ đường kính $AA'$ của $(ABC)$. $BA', CA'$ cắt $(BHC)$ lần lượt tại $E,F$. "Bằng mắt ta thấy" trung điểm $A'F, A'E, MN$ thằng hàng và ta sẽ chứng minh nó đúng.

Từ giả thiết dễ thấy $PA'MN:tgnt$. (Phép biến đổi dưới đây sử dụng một số tam giác đồng dạng cơ bản với phương tích ~)

Theo $E.R.I.Q$ thì điều trên tương đương với $\dfrac{\overline{A'F}}{\overline{A'N}} = \dfrac{\overline{EA'}}{\overline{EM}} \Leftrightarrow \dfrac{\overline{A'F}}{\overline{A'E}} = - \dfrac{\overline{A'N}}{\overline{EM}} \Leftrightarrow \dfrac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}} = \dfrac{\overline{A'N}}{\overline{ME}} \Leftrightarrow -\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PM}}= \dfrac{\dfrac{\overline{PC}.\overline{MC}}{\overline{NC}}}{\dfrac{\overline {MC}.\overline{MP}}{\overline{MB}}} $

$\Leftrightarrow \dfrac{\overline{BP}}{\overline{BM}} = \dfrac{\overline{CP}}{\overline{CN}} = \dfrac{\overline{CA'}}{\overline{CM}} = \dfrac{\overline{HB}}{\overline{CM}} \Leftrightarrow \dfrac{\overline{MB}}{\overline{MC}} = -\dfrac{\overline{BP}}{\overline{BH}}$

Đẳng thức cuối luôn đúng do $\triangle BHP \sim \triangle MCB$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 27-09-2013 - 20:42

[Zaraki]

Bài 2. Cho dãy $\{u_n \}$ thoả mãn $u_1=2013, u_{n+1}=u_n^3-4u_n^2+5u_n \; \forall n \in \mathbb{N}^*$. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ là ước của $(u_{2014}+2009)$ và $p \equiv 3 \pmod{4}$.

Lời giải. Ta có $$u_{n+1}-2=(u_n-2)(u_{n-1}-1)^2= (u_{n-2}-1)^2(u_{n-1}-1)^2(u_{n-2}-2)= (u_{n-1}-1)^2(u_{n-2}-1)^2 \cdots (u_2-1)^2(u_1-2)$$

Do đó $$u_{2014}+2009= 2011 \left[ (u_{2013}-1)^2(u_{2012}-1)^2 \cdots (u_2-1)^2 +1 \right]= 2011 \cdot B.$$

Nếu $B$ có ước nguyên tố $p=4k+3$ thì ta suy ra $p|1$, mâu thuẫn. Vậy $u_{2014}+9$ chỉ có một ước nguyên tố $p \equiv 3 \pmod{4}$ duy nhất là $\boxed{2011}$.

[haitienbg]

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haitienbg: 31-10-2013 - 00:39

[namcpnh]

 

Ngày 1: Ngày 24 tháng 9 năm 2013

Thời gian làm bài: 180 phút.

 

Bài 1.Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x^3+y+f(y))=2y+x^2f(x) \; \forall x,y \in \mathbb{R}$$

 

 

Mới làm xong bài này thấy cách giải hay hay .

 

$x=y=0$ => $f(f(0))=0$

 

$y=0$=> $f(f^3+f(0))=x^2f(x)$

 

$y=f(0)$ => $f(x^3+f(0))=2f(0)+x^2f(x)$

 

=> $f(0)=0$

 

Khi đó dễ thấy $f$ cộng tính và $f(x^3)=x^2(x)$

 

Tính $f((x+1)^3+(x-1)^3)$ bằng 2 cách ta thu được $f(x)=f(1).x=ax$.

 

Thay vào tìm được $a=1$.

 

Vậy $f(x)=x$