Chủ đề này có 1 trả lời

[ducnahasd]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữu nhật , SA vuông góc với đáy và AB=a , AD=b , SA=c.Lấy điểm B',D' theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho AB' vuông góc với SB,AD' vuông góc với SD.Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại c'.Tính V(S.AB'C'D').

 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Ta tính được: $V_{S.ABCD} = \dfrac{abc}{3} $

Do SA $\perp$ (ABCD) nên các tam giác SAD và SAB vuông tại A.

Từ đó, ta tính được:
$\dfrac{SD’}{SD} = \dfrac{SA^2}{SD^2} = \dfrac{c^2}{c^2 + b^2}$

$\dfrac{SB’}{SB} = \dfrac{SA^2}{SB^2} = \dfrac{c^2}{c^2 + a^2}$

Gọi O = AC $\cap$ BD; SO $\cup$ B’D’ = I. Từ đó suy ra: C’ = AI $\cup$ SC

Chú ý rằng, ta chứng minh được:
Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC bất kỳ. Nếu H $\in$ AB và K $\in$ AC sao cho $\dfrac{AH}{AB} = x; \dfrac{AK}{AC} = y$ và I là giao điểm HK với AM thì:
$$\dfrac{AI}{AM}= \dfrac{2xy}{x + y} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}}$$
Cái này bạn có thể chứng minh bằng tỉ số diện tích.

Áp dụng vào bài toán, ta có:
Trong tam giác SBD, $\dfrac{SI}{SO} = \dfrac{2}{\dfrac{SD}{SD’} + \dfrac{SB}{SB’}} = \dfrac{2c^2}{a^2 + b^2 + 2c^2}$

Trong tam giác SAC, $\dfrac{SI}{SO} = \dfrac{2}{\dfrac{SC}{SC’} + 1}$

 

$\Rightarrow \dfrac{SC’}{SC} = \dfrac{1}{2\dfrac{SM}{SI} - 1} = \dfrac{c^2}{a^2 + b^2 + c^2}$

Có các đại lượng này rồi. Chỉ cần lập tỉ số thể tích nữa là được.