Chủ đề này có 9 trả lời

[nguyenvantrang2009]

Đề chọn đội tuyển HSG Lâm Đồng 2013 – 2014

Bài 1: Giải hệ phương trình

$$\left\{ \begin{matrix} 8{{x}^{3}}+2y=\sqrt{y+5x+2}  \\  \left( 3x+\sqrt{1+9{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)=1  \\ \end{matrix} \right.$$ .

 

Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $abc=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=\frac{bc}{{{a}^{2}}b+{{a}^{2}}c}+\frac{ca}{{{b}^{2}}c+{{b}^{2}}a}+\frac{ab}{{{c}^{2}}a+{{c}^{2}}b}$$

 

Bài 3:

1) Cho hai đường tròn $\left( {{O}_{1}} \right)$ và $\left( {{O}_{2}} \right)$ lần lượt có bán kính là ${{R}_{1}},{{R}_{2}}\left( {{R}_{1}}<{{R}_{2}} \right)$ tiếp xúc trong tại $A$. Gọi $M$ là điểm di động trên $\left( {{O}_{1}} \right)$ ($M$ khác $A$), tiếp tuyến của $\left( {{O}_{1}} \right)$ tại $M$ cắt $\left( {{O}_{2}} \right)$ tại $B$ và $C$. Gọi $M'$ ($M'$ khác $A$) là giao điểm của $AM$ với $\left( {{O}_{2}} \right)$.

a) Chứng minh $AM’$ là đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$ .

b) Tìm quỹ tích tâm $I$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

 

2)  Cho đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I$ và đường kính $AB$, trên đoạn $IB$ lấy điểm $C$ ($C$ khác $I$ và $B$). Đường thẳng $(d)$ vuông góc với $AB$ tại $C$ và $H$ là điểm thay đổi trên $(d)$. Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $\left( C\right)$ tại điểm $D$ và đường tròn $BH$ cắt đường tròn $\left( C\right)$ tại $E$. Chứng minh đường thẳng $DE$ luôn đi qua điểm cố định.

 

Bài 4: Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right),n=1,2,3,...$ xác định bởi

$$\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}=1 \\ {{x}_{n+1}}=\sqrt{{{x}_{n}}\left( {{x}_{n}}+1 \right)\left( {{x}_{n}}+2 \right)\left( {{x}_{n}}+3 \right)+1}\end{matrix} \right.,n=1,2,3,...$$

a) Chứng minh : $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=+\infty $

b) Tìm $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{x}_{k}}+2}}$

 

Bài 5: Tìm tất cả hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho

$$f\left( x \right)+f\left( {{x}^{4}} \right)=4026+x+{{x}^{4}}$$ .

[T M]

Câu hệ nhân liên hợp phương trình $(2)$.

 

Câu dãy khai triển trong căn, nhóm được một bình phương đủ. Chứng minh dãy tăng, không tồn tại giới hạn hữu hạn. Phần b) quen thuộc, xuất hiện nhiều rồi. Hướng là tạo ra các hiệu liên tiếp rồi triệt tiêu.

 

Đề nhìn chung là không mới

[BlackSelena]

Bài 1: 

- Kq quen thuộc của lớp 9, $3x + y = 0$ ~>.....

_______________________

Bài 2 (ko phải cách giải của mình)

Đổi biến $a= \frac{1}{x} , b= \frac{1}{y} , c= \frac{1}{z}$ thì bài toán trở thành tìm min $\sum \dfrac{x^2}{y+z}$ với $xyz = 1$

$C-S \text{Engel}$ là ok í mà.

_______________________

Bài 4:

Viết lại dãy thành $\left\{\begin{matrix} x_1 = 1\\ x_{n+1}= x_n^2 + 3x_n + 1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x_{n+1} - x_n = (x_n+1)^2 \geq 0 \forall \ n$

Vậy $(x_n)$ là dãy tăng ~

Nhận xét, $x_n > 0 \forall \ n$

Vậy giả sử $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=a (a > 0)$

$\Rightarrow a = a^2 + 3a + 1 \Rightarrow a = -1 (VL)$

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=+ \infty$

Câu b, ta có:
$x_{n+1} +1 = (x_n+1)(x_n+2) \Rightarrow \dfrac{1}{x_{n+1} + 1} = \dfrac{1}{x_n +1} - \dfrac{1}{x_n+2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{x_n +2} = \dfrac{1}{x_n + 1} - \dfrac{1}{x_{n+1} + 1}$

$\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{x}_{k}}+2}} = \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{x_{n+1}+1} \leq \dfrac{1}{2}$

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{x}_{k}}+2}} = \dfrac{1}{2}$

_______________________

Bài 3 

1)

a, Dễ thấy $O_1M \parallel O_2M' \Rightarrow M'B = M'C .....$

b, Trung trực của $AI$ cắt $O_2A$ tại $P$, ta sẽ chứng minh $P:const$, thật vậy ~

Có $\dfrac{AP}{PO_1} = \dfrac{AI}{IM} = \dfrac{AB+AC}{BC}$

Lại có theo định lý $\text Ptolemy$ cho tgnt $ABM'C$ thì $\dfrac{AB+AC}{BC} = \dfrac{AM'}{BM'}$
Cho $AB$ cắt $(O_1)$ tại $B'$ (ở đây ko giảm tính tổng quát giả sử $(O_1)$ là đường tròn bé hơn)

Khi đó $ \dfrac{M'B}{M'A} =  \dfrac{MB'}{MA} = \sqrt{\dfrac{BB'}{BA}}:const$

$\Rightarrow \dfrac{AP}{AO_1} = const \Rightarrow P:const$

________________________

2)

Cho $AE$ cắt $BD$ tại $F$, dễ thấy $\overline{C,H,F}$. 

$FE \cap AB \equiv G$, ta chứng minh $G:const$, thật vậy ~

Theo Menelaus $\dfrac{GA}{GB} = \dfrac{FD}{FE} . \dfrac{AE}{DB} = \dfrac{AF}{BF}. \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{CB}{CA} = const$
$\Rightarrow G:const$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 25-09-2013 - 01:47

[tranquocluat_ht]

 

Đề chọn đội tuyển HSG Lâm Đồng 2013 – 2014

Bài 1: Giải hệ phương trình

$$\left\{ \begin{matrix} 8{{x}^{3}}+2y=\sqrt{y+5x+2}  \\  \left( 3x+\sqrt{1+9{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)=1  \\ \end{matrix} \right.$$ .

 

Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $abc=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=\frac{bc}{{{a}^{2}}b+{{a}^{2}}c}+\frac{ca}{{{b}^{2}}c+{{b}^{2}}a}+\frac{ab}{{{c}^{2}}a+{{c}^{2}}b}$$

 

Bài 3:

1) Cho hai đường tròn $\left( {{O}_{1}} \right)$ và $\left( {{O}_{2}} \right)$ lần lượt có bán kính là ${{R}_{1}},{{R}_{2}}\left( {{R}_{1}}<{{R}_{2}} \right)$ tiếp xúc trong tại $A$. Gọi $M$ là điểm di động trên $\left( {{O}_{1}} \right)$ ($M$ khác $A$), tiếp tuyến của $\left( {{O}_{1}} \right)$ tại $M$ cắt $\left( {{O}_{2}} \right)$ tại $B$ và $C$. Gọi $M'$ ($M'$ khác $A$) là giao điểm của $AM$ với $\left( {{O}_{2}} \right)$.

a) Chứng minh $AM’$ là đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$ .

b) Tìm quỹ tích tâm $I$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

 

2)  Cho đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I$ và đường kính $AB$, trên đoạn $IB$ lấy điểm $C$ ($C$ khác $I$ và $B$). Đường thẳng $(d)$ vuông góc với $AB$ tại $C$ và $H$ là điểm thay đổi trên $(d)$. Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $\left( C\right)$ tại điểm $D$ và đường tròn $BH$ cắt đường tròn $\left( C\right)$ tại $E$. Chứng minh đường thẳng $DE$ luôn đi qua điểm cố định.

 

Bài 4: Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right),n=1,2,3,...$ xác định bởi

$$\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}=1 \\ {{x}_{n+1}}=\sqrt{{{x}_{n}}\left( {{x}_{n}}+1 \right)\left( {{x}_{n}}+2 \right)\left( {{x}_{n}}+3 \right)+1}\end{matrix} \right.,n=1,2,3,...$$

a) Chứng minh : $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=+\infty $

b) Tìm $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{x}_{k}}+2}}$

 

Bài 5: Tìm tất cả hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho

$$f\left( x \right)+f\left( {{x}^{4}} \right)=4026+x+{{x}^{4}}$$ .

 

Bài 3.1. Thực chất là cần chứng minh $\dfrac{AI}{AM}=k$ không đổi (dựa vào $\dfrac{AM}{AM'}$ không đổi). Suy ra $I$ là ảnh của $(O_1)$ qua phép vị tự tâm $A$ tỷ số $k$. 

Bài 5 đặt $g(x)=f(x)-x-2013$ sẽ được $g(x^16)=g(x)=...=k$.

Bài 3.2. Điểm cố định là $G$ mà $(GCAB)=-1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranquocluat_ht: 25-09-2013 - 12:53

[ThanhQuoc97]

 

Đề chọn đội tuyển HSG Lâm Đồng 2013 – 2014

 

 

Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $abc=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=\frac{bc}{{{a}^{2}}b+{{a}^{2}}c}+\frac{ca}{{{b}^{2}}c+{{b}^{2}}a}+\frac{ab}{{{c}^{2}}a+{{c}^{2}}b}$$

 

 

 

Từ giả thiết ta có BDT tương đương

 

$$P=\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{ab+ac}+\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{bc+ba}+\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{ca+cb}\left ( 1 \right )$$

 

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta 

$$\left ( 1 \right )\geq \frac{\left {( ab+bc+ca \right )}^{2}}{2\left ( ab+bc+ca \right )}=\frac{ab+bc+ca }{2}\geq \frac{3}{2}$$

 

(Sử dụng Côsi)

 

Đẳng thức xảy ra khi: $$a=b=c=1$$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThanhQuoc97: 26-09-2013 - 22:53

[phanha]

http://file:///C:/Do...187822276_n.jpg

 

bài bdt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanha: 29-09-2013 - 17:50

[Math Is Love]

 

Đề chọn đội tuyển HSG Lâm Đồng 2013 – 2014

 

Bài 5: Tìm tất cả hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho

$$f\left( x \right)+f\left( {{x}^{4}} \right)=4026+x+{{x}^{4}}$$ .

 

Ngay trưa hôm thi mình đã nhận được đề do có 1 cậu quen trên Facebook gửi đề hỏi mình!

Bài 5 thực sự ý tưởng dãy số đã quá quen thuộc!

Cho $x=0$ suy ra $f(0)=2013$

Đặt $g(x)=f(x)-x-f(0)$

Thay vào ta có: $g(x)+g(x^4)=0$ và $g(0)=0$. Từ đây suy ra $g$ là hàm chẵn

Vậy ta chỉ cần xét $g$ trên tập số không âm.Xét $x_0 \in $\left [0;+\infty \right )$

Xét dãy: $x_0$ và $x_{n+1}=\sqrt[4]{x_n}$

Từ giả thiết ta có: $\left | g(x) \right |=\left | g(x^4) \right |$

Suy ra $\left | g(x_0) \right |=\left | g(x_1) \right |=....=\left | g(x_n) \right |$

Vì $\lim x_n =0$ mà hàm $g$ liên tục do $f$ liên tục nên $g(x_0)=g(x_n)=g(0)=0$

Vậy $g(x)\equiv 0$ hay $f(x) \equiv x+2013$. Thử lại thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Is Love: 29-09-2013 - 19:50

[Rias Gremory]

Bài 2 ,

Chú ý : $\frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c}=\frac{b^{3}c^{3}}{b+c}=\frac{(bc)^{2}}{ab+ac}$

Đến đây sử dụng Cauchy-schwarz

Bài 4 : $x_{n+1}=x_{n}^{2}+3x_{n}+1$

Bài 5, Đặt g(x)=f(x)-x

Từ giả thiết suy ra $\left\{\begin{matrix} g(0)=g(1)=2013 \\ g(x)=g(-x) \\ g(x)+g(x^{4})=4026 \end{matrix}\right.$$\left\{\begin{matrix} g(0)=g(1)=2013 \\ g(x)=g(-x) \\ g(x)+g(x^{4})=4026 \end{matrix}\right.$

Sử dụng định lý '' La gãy răng'' 

$\Rightarrow g(x)=2013$ , $\forall x \epsilon \left [ 0;1 \right ]$

Xét x>1 thì chú ý tính chất f(a)=f(b)

$\Rightarrow f(\frac{1}{a})=f(\frac{1}{b})$

Do g(x)=2013 hay f(x)=x+2013

[bynmanly]

bài 1 thì đưa về dùng pp hàm số là nhanh nhất phải k ạ.

tiện thể các thầy có thể giúp em giải bài này được không ạ.

có tồn tại hay không một hàm số f(x) xác định trên tập R,thỏa mãn:

f(f(x))=x và f(f(x)+1)= 1- x 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bynmanly: 30-09-2013 - 21:27

[Tran Hoai Nghia]

Ngay trưa hôm thi mình đã nhận được đề do có 1 cậu quen trên Facebook gửi đề hỏi mình!

Bài 5 thực sự ý tưởng dãy số đã quá quen thuộc!

Cho $x=0$ suy ra $f(0)=2013$

Đặt $g(x)=f(x)-x-f(0)$

Thay vào ta có: $g(x)+g(x^4)=0$ và $g(0)=0$. Từ đây suy ra $g$ là hàm chẵn

Vậy ta chỉ cần xét $g$ trên tập số không âm.Xét $x_0 \in $\left [0;+\infty \right )$

Xét dãy: $x_0$ và $x_{n+1}=\sqrt[4]{x_n}$

Từ giả thiết ta có: $\left | g(x) \right |=\left | g(x^4) \right |$

Suy ra $\left | g(x_0) \right |=\left | g(x_1) \right |=....=\left | g(x_n) \right |$

Vì $\lim x_n =0$ mà hàm $g$ liên tục do $f$ liên tục nên $g(x_0)=g(x_n)=g(0)=0$

Vậy $g(x)\equiv 0$ hay $f(x) \equiv x+2013$. Thử lại thỏa mãn

Cho mình hỏi câu phương trình hàm mình có thể đưa ra nhận xét là f(x) phải là hàm bậc nhất vì f liên tục và vì đề bài được không?