Đến nội dung

Hình ảnh

$x^{3}+y^{3}=2010(x-y)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Chứng minh rằng pt $x^{3}+y^{3}=2010(x-y)$ không có nghiệm nguyên dương



#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Dễ thấy $x,y$ không thể khác tính chẵn lẻ . Ví dụ nếu $x,y$ có một chẵn một lẻ thì một vế chẵn , một vế lẻ .

Giả sử $x=2^{a}.m , y=2^{b}.n$ trong đó $m,n$ nguyên dương lẻ . 

Ta giả sử $a\geq b$ khi đó $2^{3b}(2^{3a-3b}m+n)=2^{b+1}.1005(2^{a-b}.m-n)$

Nếu $a>b$ thì lũy thừa cơ số hai của $2$ vế bằng nhau , tức là $3b=b+1$ , vô lý vì $b$ nguyên

Nên $a=b$ và ta có $2^{2b-1}.(m+n)=1005(m-n)$ 

Đặt tiếp $m=2^{p}u+1 , n=2^{q}.v+1$ và giả sử $p\geq q$ nên ta có $2^{2b}(2^{p}.u+2^{q}.v+1)=1005.2^{q}(2^{p-q}-1)$

Nên phải có $m+n+1006=2^{p-q}$

Nếu $p-q\geq 1$ thì $p-q=1$ vì $1006$ chỉ chia hết cho $2$ . Nhưng khi đó vế trái lớn hơn vế phải , ta có đpcm .

Bài toán tổng quát , phương trình $x^{3}+y^{3}=(2k+1)(x-y)$ không có nghiệm nguyên dương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 24-09-2013 - 22:28

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#3
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Dễ thấy $x,y$ không thể khác tính chẵn lẻ . Ví dụ nếu $x,y$ có một chẵn một lẻ thì một vế chẵn , một vế lẻ .

Giả sử $x=2^{a}.m , y=2^{b}.n$ trong đó $m,n$ nguyên dương lẻ . 

Ta giả sử $a\geq b$ khi đó $2^{3b}(2^{3a-3b}m+n)=2^{b+1}.1005(2^{a-b}.m-n)$

Nếu $a>b$ thì lũy thừa cơ số hai của $2$ vế bằng nhau , tức là $3b=b+1$ , vô lý vì $b$ nguyên

Nên $a=b$ và ta có $2^{2b-1}.(m+n)=1005(m-n)$ 

Đặt tiếp $m=2^{p}u+1 , n=2^{q}.v+1$ và giả sử $p\geq q$ nên ta có $2^{2b}(2^{p}.u+2^{q}.v+1)=1005.2^{q}(2^{p-q}-1)$

Nên phải có $m+n+1006=2^{p-q}$

Nếu $p-q\geq 1$ thì $p-q=1$ vì $1006$ chỉ chia hết cho $2$ . Nhưng khi đó vế trái lớn hơn vế phải , ta có đpcm .

Bài toán tổng quát , phương trình $x^{3}+y^{3}=(2k+1)(x-y)$ không có nghiệm nguyên dương

Thực chất $x,y$ đâu có bình đẳng nhỉ ? Như thế sẽ không thể giả sử $a \ge b$ được.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#4
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Thực chất $x,y$ đâu có bình đẳng nhỉ ? Như thế sẽ không thể giả sử $a \ge b$ được.

mình nghĩ nó bình đẳng vì đây là lũy thừa cơ số $2$


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh