Đến nội dung

Hình ảnh

1.Cho a,b,c là các số thực dương tùy ý.CMR:$(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
nolunne

nolunne

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

1.Cho a,b,c là các số thực dương tùy ý.CMR:$(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$

2.Cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=1 CMR:$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\leq \frac{1}{2}$

3.Cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=3.CMR:$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq \1$

4.Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR:$\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^{3}}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$

P/s: Đừng chê em ngu


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nolunne: 29-09-2013 - 15:37


#2
letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết


 

4.Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR:$\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^{3}}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$

P/s: Đừng chê em ngu

Bài 4 :

Áp dụng BĐT AM-GM :

$\Rightarrow \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3a}{4}$

Tương tự với các BĐT còn lại; cộng tất cả vế theo vế :

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

Bài 1 :

$(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b)(b+c)(c+a)+abc$

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc-\frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)=abc+\frac{1}{9}(a+b)(b+c)(c+a)\geq abc+\frac{1}{9}.8abc=\frac{10}{9}abc> 0$ 

$\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)> \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$

BĐT trên không xảy ra dấu bằng

Bài bạn có bị ngược dấu không nhỉ @@!?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 25-09-2013 - 22:57

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#3
neversaynever99

neversaynever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết

1.Cho a,b,c là các số thực dương tùy ý.CMR:$(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$

2.Cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=1 CMR:$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\leq \frac{1}{2}$

3.Cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=3.CMR:$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq \frac{3}{2}$

4.Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR:$\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^{3}}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$

P/s: Đừng chê em ngu

Bạn chắc chắn bài 2,3 không sai đề bài chứ?



#4
nolunne

nolunne

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Bạn chắc chắn bài 2,3 không sai đề bài chứ?

Lấy trong sách ra mà ko có lời giải nên cũng ko kiểm chứng đc ^^



#5
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Bài 2: Ta có :$\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\sum \frac{bc}{\sqrt{a.1+bc)}}=\sum \frac{bc}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}}=\sum \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}.(\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c})=\frac{1}{2}.(\frac{c(a+b)}{a+b}+\frac{a(b+c)}{b+c}+\frac{b(a+c)}{a+c})=\frac{1}{2}.(a+b+c)=\frac{1}{2}$

(đpcm) 

 Dấu = xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{3}$

Bài 3: Vế phải phải là $\leq 1$Theo bdt cosi cho 3 số ta có :$\sum \frac{s^2b}{2a+b}=\sum \frac{a^2}{a+a+b}\leq \sum \frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}}=\sum \frac{1}{3}.\sqrt[3]{\frac{a^6b^3}{a^2b}}=\sum \frac{1}{3}.\sqrt[3]{a^4b^2}=\sum \frac{1}{3}.\sqrt[3]{a^2.ab.ab}\leq \frac{1}{3}.\sum (\frac{a^2+ab+ab}{3})=\frac{1}{3}.\frac{a^2+b^2+2ab+2bc+2ac}{3}=\frac{1}{9}.(a+b+c)^2=\frac{1}{9}.9=1$ .

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 26-09-2013 - 13:09





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh