Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangmanhquan]

cho số nguyên tố p có dạng 2013k+2( k là số nguyên dương) và a,b là hai số nguyên bất kì thỏa mãn $x^2-xy+y^2$ chia hết cho p.  CMR a,b chia hết cho p

 

[linhlun97]

Ta chứng minh bổ đề sau đây

$x,y\in \mathbb{N}, p\in\mathbb{P}, p\geq 3, p\equiv 3 (mod2)$ thì

 $x^3\equiv y^3 (mod p)\Leftrightarrow x\equiv y (mod p)$

nếu $x\vdots 3 \Rightarrow dpcm$

Nếu $x\overline{\vdots } \Rightarrow y\overline{\vdots }\Rightarrow (x,p)=(y,p)=1$

Áp dụng định lý Fermat nhỏ, ta có

$x^{p-1}=x^{3k+1}\equiv 1\equiv (x^3)^k.x\equiv (y^3)^k.x (modp)$

$y^{p-1}=y^{3k+1}=(y^3)^k.y\equiv 1 (mod p)$

Mặt khác $(x,p)=(y,p)=1$

suy ra dpcm

vậy ta chứng minh được bổ đề

 

áp dụng vào bài toán cho $p=2013k+2\equiv 2 (mod3)$

gt$\Rightarrow x^3\equiv -y^3 (mod p)\Rightarrow x+y\vdots p$(1)

$\Rightarrow (x+y)^2\vdots p$$

Mà$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy\vdots p$

Suy ra $xy\vdots p$ (2) (vì (3,p)=1)

Từ (1),(2) =>dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhlun97: 26-09-2013 - 23:09