Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$(\frac{a^{m}-1}{a-1},a-1)=(m,a-1)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 JMJ

JMJ

    Binh nhì

  • Pre-Member
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Bắc Quảng Nam

Đã gửi 26-09-2013 - 19:18

Bài 1: Cho (m,n)=1. Tìm $(m+n;m^{2}+n^{2})$ = ?

Bài 2: Cho $a,m \epsilon \mathbb{Z^{+}};a>1$. CMR

$(\frac{a^{m}-1}{a-1},a-1)=(m,a-1)$

Bài 3:Cho $a,b\epsilon \mathbb{Z},a\neq b$ thoả $ab(a+b)\vdots a^{2}+ab+b^{2}$ .CMR

$\left |a-b \right |>\sqrt[3]{ab}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 26-09-2013 - 22:00


#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 26-09-2013 - 23:40



Bài 1: Cho (m,n)=1. Tìm $(m+n;m^{2}+n^{2})$ = ?

Bài 2: Cho $a,m \epsilon \mathbb{Z^{+}};a>1$. CMR

$(\frac{a^{m}-1}{a-1},a-1)=(m,a-1)$

Bài 3:Cho $a,b\epsilon \mathbb{Z},a\neq b$ thoả $ab(a+b)\vdots a^{2}+ab+b^{2}$ .CMR

$\left |a-b \right |>\sqrt[3]{ab}$

Bài 1. Ta có $\gcd (m+n,m^2+n^2)= \gcd (m+n,2mn)$. Ta sẽ đi chứng minh $\gcd (mn,m+n)=1$.

Thật vậy, giả sử phản chứng rằng $\gcd (mn,m+n)=d>1 \Rightarrow d|mn,d|m+n$. Do đó ít nhất một trong hai số $m,n$ phải chia hết cho một ước nguyên dương khác $1$ của $d$. Không mất tính tổng quát, giả sử $k|m$ với $k>1,k|d$. Khi đó $k|m+n$ suy ra $k|n$. Vậy $k| \gcd (m,n)$, mâu thuẫn.

Vậy $\gcd (mn,m+n)=1$. Do đó $\gcd (m+n,2mn)=2$ hay $\gcd (m+n,m^2+n^2)=2$.

Bài 2. Gọi $\gcd \left( \frac{a^m-1}{a-1},a-1 \right)=d$. Lấy $p$ là một ước nguyên tố bất kì của $d$. Khi đó $p|a-1$ nên theo bổ đề LTE thì $p^k \parallel \frac{a^m-1}{a-1}$ với $m=p^k \cdot q \; (k,q \in \mathbb{N}^*, \gcd (p,q)=1)$. Ta suy ra $p^k \parallel \gcd \left( \frac{a^m-1}{a-1},m \right)$. Do đó nếu $p^o \parallel \gcd  \left( \frac{a^m-1}{a-1},a-1 \right)$ thì $p^o \parallel \gcd \left( m,a-1 \right)$.

Bất kì ước nguyên tố nào của $d$ đều có tính chất trên nên ta suy ra đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 26-09-2013 - 23:44

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 26-09-2013 - 23:55



Bài 3:Cho $a,b\epsilon \mathbb{Z},a\neq b$ thoả $ab(a+b)\vdots a^{2}+ab+b^{2}$ .CMR

$\left |a-b \right |>\sqrt[3]{ab}$

Bài này mình nghĩ bạn ghi sai đề, nên là $ab(a+b)|a^2+ab+b^2$.

Lời giải. Gọi $\gcd (a,b)=d$ thì $a=da_1,b=db_1$ với $d,b_1,a_1 \in \mathbb{Z}, d \ge 1, \gcd (b_1,a_1)=1$. Khi đó $$ab(a+b)|a^2+ab+b^2 \Leftrightarrow da_1b_1(a_1+b_1)|a_1^2+a_1b_1+b_1^2 \Rightarrow da_1b_1(a_1^2-b_1^2)|(a_1-b_1)^3$$

Từ đây ra suy ra $|(a_1-b_1)^3| \ge a_1b_1 \Rightarrow d^3|(a_1-b_1)^3| \ge d^2a_1b_1 \Rightarrow |a-b| \ge \sqrt[3]{ab}$. $\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 26-09-2013 - 23:55

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#4 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 03-12-2013 - 21:59

 

Bài 1. Ta có $\gcd (m+n,m^2+n^2)= \gcd (m+n,2mn)$. Ta sẽ đi chứng minh $\gcd (mn,m+n)=1$.

Thật vậy, giả sử phản chứng rằng $\gcd (mn,m+n)=d>1 \Rightarrow d|mn,d|m+n$. Do đó ít nhất một trong hai số $m,n$ phải chia hết cho một ước nguyên dương khác $1$ của $d$. Không mất tính tổng quát, giả sử $k|m$ với $k>1,k|d$. Khi đó $k|m+n$ suy ra $k|n$. Vậy $k| \gcd (m,n)$, mâu thuẫn.

Vậy $\gcd (mn,m+n)=1$. Do đó $\gcd (m+n,2mn)=2$ hay $\gcd (m+n,m^2+n^2)=2$.

 

 

 

Toàn cho anh hỏi, $m+n$ chưa chắc chia hết cho 2 thì sao có cái này?


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#5 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 03-12-2013 - 22:15

Toàn cho anh hỏi, $m+n$ chưa chắc chia hết cho 2 thì sao có cái này?

Em nhầm :( , như thế sẽ có hai đáp án là $1$ và $2$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#6 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 04-12-2013 - 21:28

Em nhầm :( , như thế sẽ có hai đáp án là $1$ và $2$.

 

Chắc phải chia 2 TH :

 

*) Nếu $m+n$ chia hết cho 2 thì ra 2.

 

*) Nếu $m+n$ không chia hết cho 2 thì ra 1.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#7 trandaiduongbg

trandaiduongbg

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\textit{Chôn nỗi đau nơi tận cùng thế giới}$
  • Sở thích:$\textit{Nhìn thấy bạn mỉm cười...}$

Đã gửi 05-12-2013 - 12:19

Bài 2: Cho $a,m \epsilon \mathbb{Z^{+}};a>1$. CMR

$(\frac{a^{m}-1}{a-1},a-1)=(m,a-1)$

Lời giải:

Ta có $(\frac{a^m-1}{a-1},a-1)=(a^{m-1}+a^{m-2}+...+a+1,a-1)=(a^{m-1}-1+a^{m-2}-1+...+a-1+1+m-1,a-1)=(m,a-1)$ (ĐPCM)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 05-12-2013 - 12:19

79c224405ed849a4af82350b3f6ab358.0.gif

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh