Bài 1: Cho (m,n)=1. Tìm $(m+n;m^{2}+n^{2})$ = ?
Bài 2: Cho $a,m \epsilon \mathbb{Z^{+}};a>1$. CMR
$(\frac{a^{m}-1}{a-1},a-1)=(m,a-1)$
Bài 3:Cho $a,b\epsilon \mathbb{Z},a\neq b$ thoả $ab(a+b)\vdots a^{2}+ab+b^{2}$ .CMR
$\left |a-b \right |>\sqrt[3]{ab}$
Bài 1. Ta có $\gcd (m+n,m^2+n^2)= \gcd (m+n,2mn)$. Ta sẽ đi chứng minh $\gcd (mn,m+n)=1$.
Thật vậy, giả sử phản chứng rằng $\gcd (mn,m+n)=d>1 \Rightarrow d|mn,d|m+n$. Do đó ít nhất một trong hai số $m,n$ phải chia hết cho một ước nguyên dương khác $1$ của $d$. Không mất tính tổng quát, giả sử $k|m$ với $k>1,k|d$. Khi đó $k|m+n$ suy ra $k|n$. Vậy $k| \gcd (m,n)$, mâu thuẫn.
Vậy $\gcd (mn,m+n)=1$. Do đó $\gcd (m+n,2mn)=2$ hay $\gcd (m+n,m^2+n^2)=2$.
Bài 2. Gọi $\gcd \left( \frac{a^m-1}{a-1},a-1 \right)=d$. Lấy $p$ là một ước nguyên tố bất kì của $d$. Khi đó $p|a-1$ nên theo bổ đề LTE thì $p^k \parallel \frac{a^m-1}{a-1}$ với $m=p^k \cdot q \; (k,q \in \mathbb{N}^*, \gcd (p,q)=1)$. Ta suy ra $p^k \parallel \gcd \left( \frac{a^m-1}{a-1},m \right)$. Do đó nếu $p^o \parallel \gcd \left( \frac{a^m-1}{a-1},a-1 \right)$ thì $p^o \parallel \gcd \left( m,a-1 \right)$.
Bất kì ước nguyên tố nào của $d$ đều có tính chất trên nên ta suy ra đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 26-09-2013 - 23:44
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).