Chủ đề này có 1 trả lời

[hihi2zz]

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} x^{11}+xy^{10}=y^{22}+y^{12}\\ 7y^4+13x+8=2y^4.\sqrt[3]{x(3x^2+3y^2-1)} \end{matrix}\right.$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có:
$x(x^{10} + y^{10}) = y^{12} + y^{22} \Rightarrow x \geq 0$

Phương trình này tương đương:
$(x^{11} - y^{22}) + (xy^{10} - y^{12}) = 0$
$\Leftrightarrow (x - y^2)\left ( x^{10} + x^9y^2 + … xy^{18}+ y^{20} + y^{10}\right ) = 0$
$\Leftrightarrow x = y^2 $

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:
$$7x^2 + 13x + 8 = 2x^2\sqrt[3]{x(3x^2 + 3x - 1)}$$

Nhận thấy: x = 0 không phải là nghiệm của phương trình trên

Với $x > 0$, chia 2 vế của phương tình cho $x^3$, ta được:
$\dfrac{7}{x} + \dfrac{13}{x^2} + \dfrac{8}{x^3} = 2\sqrt{3 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x^2}}$

Đặt $t = \dfrac{1}{x} > 0$, ta được:
$8t^3 + 13t^2 + 7t = 2\sqrt[3]{-t^2 + 3t + 3}$
$\Leftrightarrow (2t + 1)^3 + 2(2t + 1) = -t^2 + 3t + 3 + 2\sqrt[3]{-t^2 + 3t + 3}$

 

Xét hàm số để suy ra phương trình trên tương đương:

$2t + 1 = \sqrt[3]{-t^2 + 3t + 3} \Leftrightarrow 8t^3 + 13t^2 + 3t - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (t + 1)(8t^2 + 5t - 2) = 0$

Bạn tự giải tiếp nhé.