Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của $A=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1
pdtienArsFC

pdtienArsFC

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 133 Bài viết

Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn: x+y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

       A=$\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}$

 

p/s: Chú ý tới dấu "=" xảy ra.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 04-07-2016 - 23:16

                           80b68e1e79774daab705a98543684359.0.gif

 


#2
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

$=\frac{1}{x^2+y^2+xy}+\frac{1}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy(x+y)^2-x^2y^2}=\frac{1}{xy(1-xy)}$

Đến đây bạn có thể tự giải tiếp rồi



#3
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Thay $1=(x+y)^3$ vào biểu thức A ta có :

A=$\frac{(x+y)^3}{x^3+y^3}+\frac{(x+y)^3}{xy}=\frac{x^3+y^3+3xy(x+y)}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy(x+y)}{xy}=1+\frac{3xy}{x^3+y^3}+3+\frac{x^3+y3}{xy}=4+(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy})\geq 4+2\sqrt{\frac{3xy(x^3+y^3)}{xy(x^3+y^3)}}=4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1)^2$

(do x+y=1 và áp dụng bdt cosi cho 2 số dương) 

 $= > A$ Min=$(\sqrt{3}+1)^2$ khi $\frac{3xy}{x^3+y^3}=\frac{x^3+y^3}{xy}< = > x^3+y^3=xy\sqrt{3}< = > (x+y)(x^2-xy+y^2)=xy\sqrt{3}< = > x^2+y^2-xy(\sqrt{3}+1)=0$ và x+y=1.

Đến đây thay x=1-y vào pt trên ta có :$y^2(3+\sqrt{3})-y(3+\sqrt{3})+1=0$ có $\Delta =(3+\sqrt{3})^2-4(3+\sqrt{3})=2\sqrt{3}= > \sqrt{\Delta }=\sqrt{2\sqrt{3}}= > y=\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{2\sqrt{3}}}{2(3+\sqrt{3})}= > x=1-y=\frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2\sqrt{3}}}{2(3+\sqrt{3})}$



#4
lequocminh1999

lequocminh1999

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Ta phân tích

$x^{3}+y^{3}= (x+y)((x+y)^{2}-3xy)= 1-3xy A= \frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}$

Áp dụng bđt Bunhiacopxki

$\frac{1^{2}}{1-3xy}+\frac{1^{2}}{xy} \geq \frac{4}{1-2xy}$

mà áp dụng bđt cosi ta lai có

$2xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$

$=> A \geq \frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$

Dấu bằng xảy ra <=> x=y=1/2



#5
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

cái chỗ 2xy$\leq \frac{1}{2}= > 1-2xy\geq \frac{1}{2}= > \frac{4}{1-2xy}\leq 8$ chứ,Bạn bị ngược dấu rồi



#6
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Ta phân tích

$x^{3}+y^{3}= (x+y)((x+y)^{2}-3xy)= 1-3xy A= \frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}$

Áp dụng bđt Bunhiacopxki

$\frac{1^{2}}{1-3xy}+\frac{1^{2}}{xy} \geq \frac{4}{1-2xy}$

mà áp dụng bđt cosi ta lai có

$2xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$

$=> A \geq \frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$

Dấu bằng xảy ra <=> x=y=1/2

Chỗ này sai thì phải...??



#7
misakichan

misakichan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

$=\frac{1}{x^2+y^2+xy}+\frac{1}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy(x+y)^2-x^2y^2}=\frac{1}{xy(1-xy)}$

Đến đây bạn có thể tự giải tiếp rồi

[hide] Nếu có sai sót thì hãy sửa cho mình nha 

$x^{3}+y^{3}=x^{2}-xy+y^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi misakichan: 04-07-2016 - 19:54


#8
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

$x^{3}+y^{3}=x^{2}-xy+y^{2}$

Cái này lâu rồi mà ^^



#9
canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

Mọi người lm hộ mk bài nay vs!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Giả sử x, y là các số thực dương thoả mãn $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq 4$

Tìm min: $\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canletgo: 15-03-2017 - 21:49

Alpha $\alpha$ 


#10
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

Mọi người lm hộ mk bài nay vs!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Giả sử x, y là các số thực dương thoả mãn $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq 4$

Tìm min: $\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}$

Ta có $A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\geq x+y$ 

Mặt khác $x+y\geq 2\sqrt{xy},,,x+1\geq 2\sqrt{x},,,y+1\geq 2\sqrt{y}\Rightarrow x+y\geq \sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\geq 2$ 

Do đó minA =2 khi x=y=1 


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#11
kienvuhoang

kienvuhoang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Thay $1=(x+y)^3$ vào biểu thức A ta có :

A=$\frac{(x+y)^3}{x^3+y^3}+\frac{(x+y)^3}{xy}=\frac{x^3+y^3+3xy(x+y)}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy(x+y)}{xy}=1+\frac{3xy}{x^3+y^3}+3+\frac{x^3+y3}{xy}=4+(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy})\geq 4+2\sqrt{\frac{3xy(x^3+y^3)}{xy(x^3+y^3)}}=4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1)^2$

(do x+y=1 và áp dụng bdt cosi cho 2 số dương) 

 $= > A$ Min=$(\sqrt{3}+1)^2$ khi $\frac{3xy}{x^3+y^3}=\frac{x^3+y^3}{xy}< = > x^3+y^3=xy\sqrt{3}< = > (x+y)(x^2-xy+y^2)=xy\sqrt{3}< = > x^2+y^2-xy(\sqrt{3}+1)=0$ và x+y=1.

Đến đây thay x=1-y vào pt trên ta có :$y^2(3+\sqrt{3})-y(3+\sqrt{3})+1=0$ có $\Delta =(3+\sqrt{3})^2-4(3+\sqrt{3})=2\sqrt{3}= > \sqrt{\Delta }=\sqrt{2\sqrt{3}}= > y=\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{2\sqrt{3}}}{2(3+\sqrt{3})}= > x=1-y=\frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2\sqrt{3}}}{2(3+\sqrt{3})}$

Cách này hay nhưng hơi khó hiểu!



#12
DauKeo

DauKeo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

Ta có $A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\geq x+y$ 

Mặt khác $x+y\geq 2\sqrt{xy},,,x+1\geq 2\sqrt{x},,,y+1\geq 2\sqrt{y}\Rightarrow x+y\geq \sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\geq 2$ 

Do đó minA =2 khi x=y=1 

???



#13
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

???

Mình dùng AM-GM rồi cộng vế theo vế ,,,sau đó dùng dữ kiện đề bài thôi mà !!!


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#14
kienvuhoang

kienvuhoang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Em xin đóng góp ý kiến luôn:

$x^{3}+y^{3}=(x+y)((x+y)^2-3xy)= 1-3xy$

$\Rightarrow A=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}$

$=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}$

$\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3xy+3xy}$

$=4+2\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow xy=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$



#15
buingoctu

buingoctu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Em xin đóng góp ý kiến luôn:

$x^{3}+y^{3}=(x+y)((x+y)^2-3xy)= 1-3xy$

$\Rightarrow A=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}$

$=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}$

$\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3xy+3xy}$

$=4+2\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow xy=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$

Bạn đã tìm x,y cụ thể và thay vào điều kiện chưa?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 30-01-2018 - 20:59


#16
kienvuhoang

kienvuhoang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Bạn đã tìm x,y cụ thể và thay vào điều kiện chưa?

Với tổng và tích như thế thì bạn có pt bậc 2 2 nghiệm dương phân biệt(dễ dàng chứng minh)



#17
buingoctu

buingoctu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Với tổng và tích như thế thì bạn có pt bậc 2 2 nghiệm dương phân biệt(dễ dàng chứng minh)

uh, nếu vậy thì bạn chuẩn rùi.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh