Chủ đề này có 2 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho $(O)$ nội tiếp $\Delta ABC$ đều. Kẻ bán kính $OK.$ Qua $K$ kẻ đường thẳng vuông góc với $KO$ tại $K$ cắt $AB,AC$ tại $M,N.$ Chứng minh: $\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1.$ (dùng cách lớp $8$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eatchuoi19999: 29-09-2013 - 09:06

[letankhang]

 

Cho $(O)$ nội tiếp $\Delta ABC$ đều. Kẻ bán kính $OK.$ Qua $K$ kẻ đường thẳng vuông góc với $KO$ tại $K$ cắt $AB,AC$ tại $M,N.$ Chứng minh: $\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1.$ (dùng cách lớp $8$)

 

Bạn tự vẽ hình dùm mình nha  

Đặt : $AB=AC=BC=a;AM=x;AN=y;MN=z$

Kẻ $NH$ vuông góc với $AB$

$\Rightarrow AH=\frac{y}{2};NH=\frac{y\sqrt{3}}{2};HM=x-\frac{y}{2}$

Theo định lí Pythagoras :

$z^2=MN^{2}=NH^{2}+HM^{2}=(\frac{y\sqrt{3}}{2})^{2}+(x-\frac{y}{2})^{2}=x^{2}+y^{2}-xy$

Kẻ $OD;OE$ lần lượt uông góc với $AB;AC$

$\Rightarrow x+y+z=2AD=a$

$\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1\Leftrightarrow \frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1\Leftrightarrow \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}=1\Leftrightarrow x(x+z)+y(y+z)=(x+z)(y+z)\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-xy=z^{2}$

Đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có $(đpcm)$

[eatchuoi19999]

Bạn tự vẽ hình dùm mình nha

Đặt : $AB=AC=BC=a;AM=x;AN=y;MN=z$

Kẻ $NH$ vuông góc với $AB$

$\Rightarrow AH=\frac{y}{2};NH=\frac{y\sqrt{3}}{2};HM=x-\frac{y}{2}$

Theo định lí Pythagoras :

$z^2=MN^{2}=NH^{2}+HM^{2}=(\frac{y\sqrt{3}}{2})^{2}+(x-\frac{y}{2})^{2}=x^{2}+y^{2}-xy$

Kẻ $OD;OE$ lần lượt uông góc với $AB;AC$

$\Rightarrow x+y+z=2AD=a$

$\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1\Leftrightarrow \frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1\Leftrightarrow \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}=1\Leftrightarrow x(x+z)+y(y+z)=(x+z)(y+z)\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-xy=z^{2}$

Đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có $(đpcm)$

Cách này mình làm rồi bạn ạ. Bạn có thể chỉ cho mình cách dùng Talet hay những kiến thức liên quan đến lớp 8 được không?