Khảo sát tính hội tụ của dãy số sau:
$x_1=\frac{1}{2};x_{n+1}=(1-x_n)^2$
Khảo sát tính hội tụ của dãy số sau:
$x_1=\frac{1}{2};x_{n+1}=(1-x_n)^2$
HỌC ĐỂ KIẾM TIỀN
Lời giải:
Bằng quy nạp, ta có $0<x_n<1\,\forall n$.
Đặt $f(x)=(1-x)^2\,\,D_f=[0;1]$. Suy ra $f'(x)=-2+2x=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow f$ giảm trên $[0;1]$
Đặt $g(x)=f(f(x)) \Rightarrow g:[0;1] \to [0;1]$.
Từ cách đặt dãy:\[
\left( {x_n } \right):x_{n + 1} = f\left( {x_n } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x_{2n} = g\left( {x_{2n - 2} } \right) ,(1)\\
x_{2n + 1} = g\left( {x_{2n - 1} } \right), (2) \\
\end{array} \right.
\]
$f$ giảm trên $[0;1]$ nên $g$ tăng trên $[0;1] \Rightarrow (x_{2n});(x_{2n+1})$ đơn điệu.
Mà \[
\left\{ \begin{array}{l}
x_3 = \frac{9}{{16}} > \frac{1}{2} = x_1 \\
x_2 = \frac{1}{4} > \frac{{49}}{{256}} = x_4 \\
\end{array} \right.
\]
Suy ra $(x_{2n})$ giảm và $(x_{2n+1})$ tăng. Vì $(x_{2n});(x_{2n+1})$ bị chặn nên\[
\exists a,b:\left\{ \begin{array}{l}
a = \lim x_{2n} \left( {0 \le a < x_2 = \frac{1}{4}} \right) ,(3) \\
b = \lim x_{2n + 1} \left( {1 \ge b > x_1 = \frac{1}{2}} \right),(4) \\
\end{array} \right.
\]
Từ (1),(2), suy ra $a=g(a)$ và $b=g(b)$. Nên $a,b$ là 2 nghiệm của phương trình\[
g\left( x \right) = x \Leftrightarrow \left( {1 - \left( {1 - x} \right)^2 } \right)^2 = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \\
x = 1 \\
x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \in \left( {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right) \\
x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} > 1 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 0 \\
b = 1 \\
\end{array} \right.
\]
Vậy $(x_n)$ không hội tụ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 08-10-2013 - 00:14
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh