Chủ đề này có 1 trả lời

[chinhanh9]

Khảo sát tính hội tụ của dãy số sau:

$x_1=\frac{1}{2};x_{n+1}=(1-x_n)^2$

[perfectstrong]

Lời giải:

Bằng quy nạp, ta có $0<x_n<1\,\forall n$.

Đặt $f(x)=(1-x)^2\,\,D_f=[0;1]$. Suy ra $f'(x)=-2+2x=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow f$ giảm trên $[0;1]$

Đặt $g(x)=f(f(x)) \Rightarrow g:[0;1] \to [0;1]$.

Từ cách đặt dãy:\[
\left( {x_n } \right):x_{n + 1}  = f\left( {x_n } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x_{2n}  = g\left( {x_{2n - 2} } \right) ,(1)\\
 x_{2n + 1}  = g\left( {x_{2n - 1} } \right), (2) \\
 \end{array} \right.
\]
$f$ giảm trên $[0;1]$ nên $g$ tăng trên $[0;1] \Rightarrow (x_{2n});(x_{2n+1})$ đơn điệu.

Mà \[
\left\{ \begin{array}{l}
 x_3  = \frac{9}{{16}} > \frac{1}{2} = x_1  \\
 x_2  = \frac{1}{4} > \frac{{49}}{{256}} = x_4  \\
 \end{array} \right.
\]
Suy ra $(x_{2n})$ giảm và $(x_{2n+1})$ tăng. Vì $(x_{2n});(x_{2n+1})$ bị chặn nên\[
\exists a,b:\left\{ \begin{array}{l}
 a = \lim x_{2n} \left( {0 \le a < x_2  = \frac{1}{4}} \right) ,(3) \\
 b = \lim x_{2n + 1} \left( {1 \ge b > x_1  = \frac{1}{2}} \right),(4) \\
 \end{array} \right.
\]
Từ (1),(2), suy ra $a=g(a)$ và $b=g(b)$. Nên $a,b$ là 2 nghiệm của phương trình\[
g\left( x \right) = x \Leftrightarrow \left( {1 - \left( {1 - x} \right)^2 } \right)^2  = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = 0 \\
 x = 1 \\
 x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \in \left( {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right) \\
 x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} > 1 \\
 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 a = 0 \\
 b = 1 \\
 \end{array} \right.
\]
Vậy $(x_n)$ không hội tụ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 08-10-2013 - 00:14