Cho a,b,c dương.CMR:$3(abc+1)\geq ab+bc+ca+a+b+c$
$3(abc+1)\geq ab+bc+ca+a+b+c$
Bắt đầu bởi sonksnb, 29-09-2013 - 11:07
#1
Đã gửi 29-09-2013 - 11:07
#2
Đã gửi 29-09-2013 - 11:17
Theo mình nghĩ phải có thêm điều kiện $a,b,c\geq 1$.Thế thì :
$c(a-1)(b-1)\geq 0= > abc\geq ac+bc-c$ .Tương tự: $abc\geq ab+bc-b,abc\geq ac+ab-a$
Cộng theo vế các bdt ta có :$3abc\geq 2(ab+bc+ac)-(a+b+c)= > 3(abc+1)\geq 2(ab+bc+ac)-(a+b+c)+3$
Do đó ta chỉ cần CM bdt: $2(ab+bc+ac)-(a+b+c)+3\geq ab+bc+ac+a+b+c< = > ab+bc+ac+3\geq 2(a+b+c)$
Do $a\geq 1,b\geq 1,c\geq 1= > (a-1)(b-1)\geq 0,(b-1)(c-1)\geq 0,(c-1)(a-1)\geq 0= > ab+bc+ac+3\geq 2(a+b+c)$(luôn đúng)
Đấu = xảy ra khi a=b=c=1
- phancuong123 yêu thích
#3
Đã gửi 29-09-2013 - 18:07
Theo mình thì BĐT này đúng khi 3 số $a, b, c$ cùng thuộc 1 trong 2 nửa khoảng $(0;1] ; [1;+\infty)$
Gió
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh