Chủ đề này có 2 trả lời

[sonksnb]

Cho a,b,c dương.CMR:$3(abc+1)\geq ab+bc+ca+a+b+c$

[Hoang Tung 126]

Theo mình nghĩ phải có thêm điều kiện $a,b,c\geq 1$.Thế thì :

$c(a-1)(b-1)\geq 0= > abc\geq ac+bc-c$ .Tương tự: $abc\geq ab+bc-b,abc\geq ac+ab-a$

Cộng theo vế các bdt ta có :$3abc\geq 2(ab+bc+ac)-(a+b+c)= > 3(abc+1)\geq 2(ab+bc+ac)-(a+b+c)+3$

Do đó ta chỉ cần CM bdt: $2(ab+bc+ac)-(a+b+c)+3\geq ab+bc+ac+a+b+c< = > ab+bc+ac+3\geq 2(a+b+c)$

Do $a\geq 1,b\geq 1,c\geq 1= > (a-1)(b-1)\geq 0,(b-1)(c-1)\geq 0,(c-1)(a-1)\geq 0= > ab+bc+ac+3\geq 2(a+b+c)$(luôn đúng)

 Đấu = xảy ra khi a=b=c=1

[Lugiahooh]

Theo mình thì BĐT này đúng khi 3 số $a, b, c$ cùng thuộc 1 trong 2 nửa khoảng $(0;1] ; [1;+\infty)$