Chủ đề này có 2 trả lời

[nolunne]

1.Cho a+b+c=3abc Chứng Minh:

$\frac{bc}{a^{3}(c+2b)}+\frac{ca}{b^{3}(a+2c)}+\frac{ab}{c^{3}(b+2a)}\geq 1$

 

[Zaraki]

1.Cho a+b+c=3abc Chứng Minh:

$\frac{bc}{a^{3}(c+2b)}+\frac{ca}{b^{3}(a+2c)}+\frac{ab}{c^{3}(b+2a)}\geq 1$

Lời giải. Đặt $a= \frac 1x, b= \frac 1y, c= \frac 1z$ thì $xy+yz+zx=3$. Ta đưa bất đẳng thức về việc chứng minh $\sum \frac{x^4}{xy+2zx} \ge 1$. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz thì $$\sum \frac{x^4}{xy+2zx} \ge \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3(xy+yz+zx)} \ge \frac{xy+yz+zx}{3} =1$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 29-09-2013 - 12:04

[kfcchicken98]

có $\frac{bc}{a^{3}(c+2b)} + \frac{c+2b}{9abc}\geq \frac{2}{3a^{2}}$
$\frac{ca}{b^{3}(a+2c)} + \frac{a+2c}{9abc}\geq \frac{2}{3b^{2}}$
$\frac{ab}{c^{3}(b+2a)} + \frac{b+2a}{9abc} \geq \frac{2}{3c^{2}}$
cộng 3 bẩt đẳng thức, có $\sum \frac{bc}{a^{3}(c+2b)} + \sum \frac{c+2b}{9abc} \geq \sum \frac{2}{3a^{2}}$$\sum \frac{bc}{a^{3}(c+2b)} + \sum \frac{c+2b}{9abc} \geq \sum \frac{2}{3a^{2}} \geq \frac{2}{3} (\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+ \frac{1}{ca})$
tương đường với $\sum \frac{bc}{a^{3}(c+2b)} \geq \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{ab})$ = 1
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 29-09-2013 - 13:14