Chủ đề này có 1 trả lời

[Ha Manh Huu]

Cho $ a,b,c \geq 0$  Tìm MAX  $\sum \frac{a^2}{2a^2+(b+c)^2}$

[Hoang Tung 126]

Ta có $\frac{9}{2}.A$=:$\sum \frac{9a^2}{2(2a^2+(b+c)^2)}=\sum \frac{(a+a+a)^2}{(2a^2+bc)+(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2+c^2)+3bc}\leq \sum \frac{(a+a+a)^2}{(2a^2+bc)+(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2+c^2)}\leq \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}=\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\sum \frac{2a^2}{a^2+b^2+c^2}=\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}=\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+2$(1)

Ta sẽ CM :$\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1$

Ta có :$\sum \frac{bc}{2a^2+bc}=\sum \frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2+2abc(a+b+c)}=\frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2}=1< = > \sum (1-\frac{bc}{2a^2+bc})\leq 2< = > \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1= > \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+2\leq 1+2=3$(2)

Từ (1) và (2) 

$= > \sum \frac{9a^2}{2(2a^2+(b+c)^2)}\leq 3= > \sum \frac{a^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq \frac{2}{3}$ nên A Max=$\frac{2}{3}< = > a=0,b=c$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 30-09-2013 - 14:21