Chủ đề này có 2 trả lời

[TheUselesser]

Cho 3 số thực a,b,c thuộc $[0;1]$. Tìm GTNN của 

$P= \frac{a^3+2}{b^2+1}+\frac{b^3+2}{c^2+1}+\frac{c^3+2}{a^2+1}$

[thanhdotk14]

Cho 3 số thực a,b,c thuộc $[0;1]$. Tìm GTNN của 

$P= \frac{a^3+2}{b^2+1}+\frac{b^3+2}{c^2+1}+\frac{c^3+2}{a^2+1}$

Bài giải:

Ta cần chứng minh:$$\sum_{a,b,c} \frac{a^3+2}{b^2+1}\ge \frac{9}{2}(1)$$

Ta viết lại bất đẳng thức $(1)$ như sau:$$\sum_{a,b,c} \left(\frac{a^3+2}{b^2+1}-\frac{3}{2}\right)\ge 0$$

$$\Leftrightarrow \sum_{a,b,c} \frac{2a^3-3b^2+1}{b^2+1}\ge 0(2)$$

Lại có: $2a^3+1\ge 3a^2 (AM-GM)$ nên từ $(2)$ ta cần chứng minh:$$\sum_{a,b,c} \frac{a^2-b^2}{b^2+1}\ge 0$$

$$\sum_{a,b,c} \frac{a^2+1}{b^2+1}\ge 3$$

(Vì $\frac{b^2}{b^2+1}=1-\frac{1}{b^2+1}$)

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng theo $AM-GM$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 30-09-2013 - 20:10

[TheUselesser]

Thành thật xin lỗi  Cho phép mình sửa lại đề là Tìm GTLN của P   Giúp với !