Cho đa giác lồi $A_{1}A_{2}...A_{n}$, O là tâm tỉ cự hệ điểm $(A_{1};A_{2};...;A_{n})$ với hệ số (1;1;...;1). Đặt $d=OA_{1}+OA_{2}+...+OA_{n}$; p là chu vi đa giác.
CMR:
+) Nếu n chẵn thì $\frac{4}{n}d\geq p$
+) Nếu n lẻ thì $p\geq \frac{4nd}{n-1}$
+ Xét tam giác đều $ABC$ cạnh bằng $a$ ($n=3$). Tâm tỷ cự là tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Ta có :
$p=3a$ ; $d=OA+OB+OC=a\sqrt{3}$ $\rightarrow p< \frac{4nd}{n-1}=\frac{4.3.a\sqrt{3}}{2}=6a\sqrt{3}$
+ Xét hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ ($n=4$). Tâm tỷ cự là tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Ta có :
$p=4a$ ; $d=OA+OB+OC+OD=2a\sqrt{2}$ $\rightarrow \frac{4d}{n}=2a\sqrt{2}< p$
+ Xét lục giác đều $ABCDEF$ cạnh bằng $a$ ($n=6$). Tâm tỷ cự là tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Ta có :
$p=6a$ ; $d=OA+OB+...+OF=6a$ $\rightarrow \frac{4d}{n}=\frac{4.6a}{6}=4a< p$
Ba ví dụ trên chứng tỏ đề sai !