Chủ đề này có 3 trả lời

[khonggiohan]

   Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr

  $\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 01-10-2013 - 09:03

[mbrandm]

Ta có $\sum\left ( \frac{a^{3}}{b^{2}} +a\right )\geq 2\sum \frac{a^{2}}{b}$( theo BĐT Cauchy)

Ta đi chứng minh bất đẳng thức sau:$\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \sum a$

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức này bằng bất đẳng thức Cauchy:$\sum \left ( \frac{a^{2}}{b}+b \right )\geq 2\sum a$.

Kết hợp 2 BĐT ta có điều phải chứng minh

[nghiemthanhbach]

Cách 2:

Hơi giống cách 1 tý

Áp dụng bất đẳng thức C-S ta có:

$\sum \frac{a^3}{b^2}=\sum \frac{a^4}{ab^2}\geq \frac{(\sum a^2 )^2}{\sum ab^2}\geq \sum \frac{a^2}{ab^2}$

Sai sót gì nhớ nhắc nhé

[Phuong Thu Quoc]

   Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr

  $\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}$

Áp dụng C-S ta thu được các BĐT sau

                     $\left ( \frac{a^{3}}{b^{2}} +\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\right )\left ( a+b+c \right )\geq \left ( \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c} +\frac{c^{2}}{2}\right )^{2}$

                     $\left ( \frac{a^{2}}{b} +\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\right )\left ( b+c+a \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}$

Nhân từng vế 2 BĐT ta có đpcm