$\lim_{x->0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{sinx}$
$\lim_{x->-\infty }\frac{ln(1+3^{x})}{ln(1+2^{x})}$
$\lim_{x->0}\frac{e^{x^{2}}-cosx}{x^{2}}$
$\lim_{x->0}\frac{tanx-sinx}{x^{3}}$
$\lim_{x->0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{sinx}$
$\lim_{x->-\infty }\frac{ln(1+3^{x})}{ln(1+2^{x})}$
$\lim_{x->0}\frac{e^{x^{2}}-cosx}{x^{2}}$
$\lim_{x->0}\frac{tanx-sinx}{x^{3}}$
trong mục toán đại học thì bạn cứ khai triển taylor quanh lân cận 0 là ra hết mà (xài cái o(x) hay O(x)) đó
ví dụ bài 1:
$e^x-e^{-x} = (1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}) - (1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6})+o(x^3) = 2x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
$sin(x) = x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$
nên $lim = 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 02-10-2013 - 01:45
KT-PT
Do unto others as you would have them do unto you.
Dùng l'hospital, có $\lim \frac{e^{x}-e^{-x}}{sinx} = \lim \frac{e^{x}+e^{-x}}{cosx} =2$
mấy cái sau cũng tương tự bạn ạ
cảm ơn 2 anh.. nhưng em chưa học l'hospital vs khai triển taylornếu ko dùng 2 cái đó thì mình tính như thế nào??
Nếu không chưa học mấy cái đó thì định nghĩa đạo hàm đi (lách luật đấy mà! )
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
Dùng giới hạn cơ bản đi. Khi $x\to0$ thì: $\frac{e^x-1}{x}=1$, $\frac{sinx}{x}=1$.
$\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{sinx}=\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{e^x sinx}=2\lim_{x\to0}\frac{1}{e^x}.\frac{\frac{e^{2x}-1}{2x}}{\frac{sinx}{x}}=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 02-10-2013 - 12:15
Tôi xin tổng hợp lại nha!
Nếu chưa học tới quy tắc L'Hospital hay phương pháp sử dụng khai triển Maclaurin thì ta sử dụng các giới hạn cơ bản. Các giới hạn này có thể áp dụng trực tiếp.
Như vậy áp dụng các giới hạn cơ bản trên thì ta có thể sử lý các bài tập trên như sau:
Câu 1:
$\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin x} &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{2x}-1}{e^{x}\sin x}\\ &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{2x}-1}{2x}.\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}.\frac{2}{e^{x}}\\ &=& 2 \end{eqnarray}$
Câu 2: Nhận xét rằng khi $x\rightarrow -\propto$ thì $3^{x}\rightarrow 0$ và $2^{x}\rightarrow 0$.Khi đó
$\underset{x\rightarrow -\propto }{lim}\frac{\ln (1+3^{x})}{\ln (1+2^{x})}=\underset{x\rightarrow -\propto }{lim}\frac{\ln (1+3^{x})}{3^{x}}.\frac{1}{\frac{\ln (1+2^{x})}{2^{x}}}.\frac{3^{x}}{2^{x}} =1.1.0=0$
Câu 3:
Ta phân tích
$\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x^{2}}-\cos x}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\left ( \frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}+\frac{1-\cos x}{x^{2}} \right )$
Ta có:
$\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}=1$
$\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{2\sin ^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{2}.\left ( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right )^{2}=\frac{1}{2}$
Suy ra $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x^{2}}-\cos x}{x^{2}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
Câu 4:
$\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}} &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sin x-\sin x\cos x}{x^{3}\cos x}\\ &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sin x}{x}.\frac{1-\cos x}{x^{2}}.\frac{1}{\cos x}\\ &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray}$
P/S: Sửa lại một chỗ đánh máy thiếu ở dòng thứ 3 của câu 4. Lỗi này do một thành viên phát hiện. Cảm ơn bạn!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 12-10-2013 - 20:41
e cam on tat ca cac anh! dao nay e ko thuong xuyen len mang duoc nen cam on sau,...
Tôi xin tổng hợp lại nha!
Nếu chưa học tới quy tắc L'Hospital hay phương pháp sử dụng khai triển Maclaurin thì ta sử dụng các giới hạn cơ bản. Các giới hạn này có thể áp dụng trực tiếp.
- $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$
- $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x}-1}{x}=1$
- $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
Như vậy áp dụng các giới hạn cơ bản trên thì ta có thể sử lý các bài tập trên như sau:
Câu 1:
$\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin x} &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{2x}-1}{e^{x}\sin x}\\ &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{2x}-1}{2x}.\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}.\frac{2}{e^{x}}\\ &=& 2 \end{eqnarray}$
Câu 2: Nhận xét rằng khi $x\rightarrow -\propto$ thì $3^{x}\rightarrow 0$ và $2^{x}\rightarrow 0$.Khi đó
$\underset{x\rightarrow -\propto }{lim}\frac{\ln (1+3^{x})}{\ln (1+2^{x})}=\underset{x\rightarrow -\propto }{lim}\frac{\ln (1+3^{x})}{3^{x}}.\frac{1}{\frac{\ln (1+2^{x})}{2^{x}}}.\frac{3^{x}}{2^{x}} =1.1.0=0$
Câu 3:
Ta phân tích
$\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x^{2}}-\cos x}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\left ( \frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}+\frac{1-\cos x}{x^{2}} \right )$
Ta có:
$\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}=1$
$\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{2\sin ^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{2}.\left ( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right )^{2}=\frac{1}{2}$
Suy ra $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x^{2}}-\cos x}{x^{2}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
Câu 4:
$\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}} &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sin x-\sin x\cos x}{x^{3}\cos x}\\ &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sin x}{x}.\frac{1-\cos x}{x^{2}}\\ &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray}$
ở câu 4 chỗ dấu bằng thứ 3 có nhầm ko anh? cosx ở dưới mẫu số sao lại mất ? e cảm ơn
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh