Đến nội dung

Hình ảnh

Tính giới hạn.

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
tranquocdai

tranquocdai

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

$\lim_{x->0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{sinx}$

$\lim_{x->-\infty }\frac{ln(1+3^{x})}{ln(1+2^{x})}$

$\lim_{x->0}\frac{e^{x^{2}}-cosx}{x^{2}}$

$\lim_{x->0}\frac{tanx-sinx}{x^{3}}$

Cho e xin hưóng đi của từng bài, ko nhất thiết phải giải chi tiết!
E cảm ơn

:namtay



#2
tuan101293

tuan101293

    Trung úy

  • Thành viên
  • 999 Bài viết

trong mục toán đại học thì bạn cứ khai triển taylor quanh lân cận 0 là ra hết mà (xài cái o(x) hay O(x)) đó 

ví dụ bài 1:

$e^x-e^{-x} = (1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}) - (1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6})+o(x^3) = 2x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$sin(x) = x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

nên $lim = 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 02-10-2013 - 01:45

KT-PT


Do unto others as you would have them do unto you.


#3
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

Dùng l'hospital, có $\lim \frac{e^{x}-e^{-x}}{sinx} = \lim \frac{e^{x}+e^{-x}}{cosx} =2$

mấy cái sau cũng tương tự bạn ạ



#4
tranquocdai

tranquocdai

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
cảm ơn 2 anh.. nhưng em chưa học l'hospital vs khai triển taylor
nếu ko dùng 2 cái đó thì mình tính như thế nào??


#5
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

 

cảm ơn 2 anh.. nhưng em chưa học l'hospital vs khai triển taylor
nếu ko dùng 2 cái đó thì mình tính như thế nào??

 

Nếu không chưa học mấy cái đó thì định nghĩa đạo hàm đi (lách luật đấy mà! ~O) )


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#6
zarya

zarya

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 145 Bài viết

Dùng giới hạn cơ bản đi. Khi $x\to0$ thì: $\frac{e^x-1}{x}=1$, $\frac{sinx}{x}=1$.

$\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{sinx}=\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{e^x sinx}=2\lim_{x\to0}\frac{1}{e^x}.\frac{\frac{e^{2x}-1}{2x}}{\frac{sinx}{x}}=2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 02-10-2013 - 12:15


#7
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết

Tôi xin tổng hợp lại nha!

 

Nếu chưa học tới quy tắc L'Hospital hay phương pháp sử dụng khai triển Maclaurin thì ta sử dụng các giới hạn cơ bản. Các giới hạn này có thể áp dụng trực tiếp.

  • $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$
  • $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x}-1}{x}=1$
  • $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$

Như vậy áp dụng các giới hạn cơ bản trên thì ta có thể sử lý các bài tập trên như sau:

 

Câu 1:

$\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin x} &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{2x}-1}{e^{x}\sin x}\\ &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{2x}-1}{2x}.\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}.\frac{2}{e^{x}}\\ &=& 2 \end{eqnarray}$

 

Câu 2: Nhận xét rằng khi $x\rightarrow -\propto$ thì $3^{x}\rightarrow 0$ và $2^{x}\rightarrow 0$.Khi đó

 

$\underset{x\rightarrow -\propto }{lim}\frac{\ln (1+3^{x})}{\ln (1+2^{x})}=\underset{x\rightarrow -\propto }{lim}\frac{\ln (1+3^{x})}{3^{x}}.\frac{1}{\frac{\ln (1+2^{x})}{2^{x}}}.\frac{3^{x}}{2^{x}} =1.1.0=0$

 

Câu 3:

 

Ta phân tích

$\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x^{2}}-\cos x}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\left ( \frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}+\frac{1-\cos x}{x^{2}} \right )$

Ta có:

$\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}=1$

$\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{2\sin ^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{2}.\left ( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right )^{2}=\frac{1}{2}$

 

Suy ra         $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x^{2}}-\cos x}{x^{2}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

 

 

Câu 4:

$\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}} &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sin x-\sin x\cos x}{x^{3}\cos x}\\ &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sin x}{x}.\frac{1-\cos x}{x^{2}}.\frac{1}{\cos x}\\ &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray}$

 

P/S: Sửa lại một chỗ đánh máy thiếu ở dòng thứ 3 của câu 4. Lỗi này do một thành viên phát hiện. Cảm ơn bạn!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 12-10-2013 - 20:41

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#8
tranquocdai

tranquocdai

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

e cam on tat ca cac anh! dao nay e ko thuong xuyen len mang duoc nen cam on sau,...:)



#9
tranquocdai

tranquocdai

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Tôi xin tổng hợp lại nha!

 

Nếu chưa học tới quy tắc L'Hospital hay phương pháp sử dụng khai triển Maclaurin thì ta sử dụng các giới hạn cơ bản. Các giới hạn này có thể áp dụng trực tiếp.

  • $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$
  • $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x}-1}{x}=1$
  • $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$

Như vậy áp dụng các giới hạn cơ bản trên thì ta có thể sử lý các bài tập trên như sau:

 

Câu 1:

$\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin x} &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{2x}-1}{e^{x}\sin x}\\ &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{2x}-1}{2x}.\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}.\frac{2}{e^{x}}\\ &=& 2 \end{eqnarray}$

 

Câu 2: Nhận xét rằng khi $x\rightarrow -\propto$ thì $3^{x}\rightarrow 0$ và $2^{x}\rightarrow 0$.Khi đó

 

$\underset{x\rightarrow -\propto }{lim}\frac{\ln (1+3^{x})}{\ln (1+2^{x})}=\underset{x\rightarrow -\propto }{lim}\frac{\ln (1+3^{x})}{3^{x}}.\frac{1}{\frac{\ln (1+2^{x})}{2^{x}}}.\frac{3^{x}}{2^{x}} =1.1.0=0$

 

Câu 3:

 

Ta phân tích

$\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x^{2}}-\cos x}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\left ( \frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}+\frac{1-\cos x}{x^{2}} \right )$

Ta có:

$\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}=1$

$\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{2\sin ^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{2}.\left ( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right )^{2}=\frac{1}{2}$

 

Suy ra         $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{x^{2}}-\cos x}{x^{2}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

 

 

Câu 4:

$\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}} &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sin x-\sin x\cos x}{x^{3}\cos x}\\ &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sin x}{x}.\frac{1-\cos x}{x^{2}}\\ &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray}$

ở câu 4 chỗ dấu bằng thứ 3 có nhầm ko anh? cosx ở dưới mẫu số sao lại mất ? e cảm ơn






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh