Chưa có bài trả lời

[hoangtrong2305]

Ta đã nghiên cứu về các hàm chỉ duy nhất 1 biến số. Tuy nhiên, nhiều phương trình trong toán học xuất hiện $2$ hay nhiều biến. Trong bài này ta sẽ nghiên cứu cách tính đạo hàm của hàm số có nhiều hơn $1$ ẩn.

 

Bài viết này có liên quan nhưng không giống với 1 bài viết ta đã gặp trước đó là vi phân hàm ẩn.

 

Ví dụ 1: Hàm số có $2$ biến

 

Đây là hàm số có $2$ biến số là $x$ và $y$:

 

$$F(x,y)=y+6\sin x+5y^{2}$$

 

Để vẽ đồ thị hàm số này ta cần đến tọa độ không gian $Oxyz$

 

I. Vi phân riêng theo $x$

 

"Đạo hàm riêng theo $x$" có nghĩa "Xem tất cả các ký tự như hằng số và chỉ vi phân phần có $x$"

 

Ở ví dụ trên (cũng như những phương trình có chứa $2$ biến) thì đạo hàm riêng liên quan đến $x$ có nghĩa là (cũng như trong thực tế) ta có thể xoay đồ thị và nhìn từ trục $y$. Ta đang nhìn vào mặt phẳng $x-z$

 

Ta thấy rằng đường cong hàm $\sin $ di chuyển theo trục $x$, điều này xuất phát từ $6\sin x$ ở trong phương trình.

 

$$F(x,y)=y+6\sin x+5y^{2}$$

 

Phần $y$ ta có thể xem như là hằng số (trong trường hợp này có thể xem là $0$)

 

Bây giờ ta đạo hàm riêng của:

 

$$F(x,y)=y+6\sin x+5y^{2}$$

 

tính theo $x$

 

$$\frac{\delta F}{\delta x}=6\cos x$$

 

Đạo hàm của $6\sin x$ là $6\cos x$, còn đạo hàm của $y$ là $0$ do $y$ được xem như là hằng số.

 

Cần lưu ý rằng ta dùng ký hiệu $\delta$ biểu hiện cho "vi phân riêng" trong khi $d$ dùng để ký hiệu cho phép vi phân thông thường.

 

 

II. Vi phân riêng theo $y$:

 

Thuật ngữ:" Vi phân riêng theo $y$" nghĩa là :" Giả sử tất cả các ký tự là hằng số ngoại trừ $y$ để vi phân"

 

Như ta đã làm ở phần trên, ta xoay đồ thị và nhìn theo trục $x$, vì vậy ta thấy mặt phẳng $y-z$.

 

Ta thấy một hình parabola, điều này xảy ra do số hạng $y^{2}$ và $y$ trong $F(x,y)=y+6\sin x+5y^{2}$, còn $6\sin x$ bây giờ được xem như là hằng số

 

 

Bây giờ để đạo hàm riêng của:

 

$$\frac{\delta F}{\delta x}=6\cos x$$

 

theo $y$

 

$$\frac{\delta F}{\delta y}=1+10y$$

 

Đạo hàm của phần tử có $y$ là $1+10y$. Đạo hàm của $6\sin x$ là $0$ vì phần tử này được xem như là hằng số khi ta vi phân theo $y$

 

 

III. Đạo hàm riêng bậc $2$

 

Ta có thể tìm $4$ đạo hàm riêng bậc $2$ khác nhau. Hãy xem qua những ví dụ sau:

 

Ví dụ 2: Với phương trình

 

$$\frac{\delta F}{\delta x}=6\cos x$$

 

Hãy xác định:

 

$(a)$ $$\frac{\delta^{2}F}{\delta y\delta x}$$

 

Trả lời

 

Spoiler

 

Ta viết lại:

$$\frac{\delta}{\delta y}[\frac{\delta F}{\delta x}]$$

Biểu thức này có nghĩa:

"Đầu tiên ta tìm đạo hàm riêng theo $x$ của hàm $F$ (phần trong ngoặc), sau đó tìm đạo hàm riêng theo $y$ của kết quả vừa thu được".

Ở ví dụ trên, ta đã tìm

$$\frac{\delta F}{\delta x} 6\cos x$$

Để tìm $\frac{\delta^{2} F}{\delta y \delta x} 6\cos x$, ta cần tìm đạo hàm riêng theo $y$ của $\frac{\delta F}{\delta x}$

$$\frac{\delta^{2} F}{\delta y \delta x}=\frac{\delta}{\delta y}[\frac{\delta F}{\delta x}]$$

$$=\frac{\delta }{\delta y} [6\cos x]$$

$$=0$$

Vì $\cos x$ là hằng số (khi ta tính vi phân riêng theo $y$) nên đạo hàm của nó bằng $0$.

 

$(b)$ $$\frac{\delta^{2}F}{\delta x\delta y}$$

 

Trả lời

 

Spoiler

 

Ta viết lại:

$$\frac{\delta}{\delta x}[\frac{\delta F}{\delta y}]$$

Biểu thức này có nghĩa:

"Tìm đạo hàm riêng theo $x$ của đạo hàm riêng theo $y$"

Ở ví dụ trên

$$\frac{\delta F}{\delta x}=6\cos x$$

ta đã tìm

$$\frac{\delta F}{\delta y}=1+10y$$

Để tìm $\frac{\delta^{2}F}{\delta x\delta y}$, ta cần tìm đạo hàm riêng theo $x$ của $\frac{\delta F}{\delta y}$

$$\frac{\delta^{2}F}{\delta x\delta y}=\frac{\delta}{\delta x}[\frac{\delta F}{\delta y}]$$

$$=\frac{\delta}{\delta x}[1+10y]$$

$$=0$$

Do $y$ là hằng số (khi ta tính vi phân riêng theo $x$) nên đạo hàm của nó bằng $0$

 

 

$(c)$ $$\frac{\delta^{2}F}{\delta x^{2}}$$

 

Trả lời

 

Spoiler

 

Ta viết lại:

$$\frac{\delta}{\delta x}[\frac{\delta F}{\delta x}]$$

Biểu thức này có nghĩa:

"Tìm đạo hàm riêng theo $x$ của đạo hàm riêng theo $x$"

Ở ví dụ trên, ta đã tìm:

$$\frac{\delta F}{\delta x}=6\cos x$$

Để tìm $\frac{\delta^{2}F}{\delta x^{2}}$, ta cần tìm đạo hàm riêng theo $x$ của $\frac{\delta F}{\delta x}$

$$\frac{\delta^{2}F}{\delta x^{2}}=\frac{\delta}{\delta x}[\frac{\delta F}{\delta x}]$$

$$\frac{\delta}{\delta x}[6\cos x]$$

$$=-6\sin x$$

 

 

$(d)$ $$\frac{\delta^{2} F}{\delta y^{2}}$$ 

 

Trả lời

 

Spoiler

 

Ta viết lại

$$\frac{\delta}{\delta y}[\frac{\delta F}{\delta y}]$$

Biểu thức này có nghĩa:

"Tìm đạo hàm riêng theo $y$ của đạo hàm riêng theo $y$"

Ở ví dụ trên $F(x,y)=y+6\sin x+5y^{2}$, ta đã tìm

$$\frac{\delta F}{\delta y}=1+10y$$

Để tìm $\frac{\delta^{2} F}{\delta y^{2}}$ ta cần tìm đạo hàm riêng theo $y$ của $\frac{\delta}{\delta y}$

$$\frac{\delta^{2} F}{\delta y^{2}}=\frac{\delta}{\delta y}[\frac{\delta F}{\delta y}]$$

$$=\frac{\delta}{\delta y}[1+10y]$$

$$=10$$

 

 

Xem thêm: Tổng quan về ngành vi tích phân

 

Bài trước: Đạo hàm cấp cao

 

Bài tiếp: Ứng dụng vi phân - Tổng quan