Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$z \in \mathbb{C}$ thì $|z+1| \ge m$ hoặc $|z^2+1| \ge 1 $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Thành viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 02-10-2013 - 17:19

Chứng minh $m=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ là giá trị lớn nhất của $m$ sao cho với mọi $z \in \mathbb{C}$ thì $|z+1| \ge m$ hoặc $|z^2+1| \ge 1 $


  • LNH yêu thích

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi

https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#2 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 03-10-2013 - 04:50

Chứng minh $m=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ là giá trị lớn nhất của $m$ sao cho với mọi $z \in \mathbb{C}$ thì $|z+1| \ge m$ hoặc $|z^2+1| \ge 1 $

-Đặt mệnh đề "với mọi $z \in \mathbb{C}$ thì $|z+1| \ge m$ hoặc $|z^2+1| \ge 1 $" là $U$:
-Đặt $z=a w-1$, trong đó: $a\in R$ không âm và $w$ nằm trên đường tròn đơn vị: $|w|=w\bar{w}=1$ $(C_1)$
( $z$ nằm trên đường tròn tâm $1$ bán kính $a$ - luôn tồn tại cách đặt như thế )
-Theo đó:
$U\equiv \forall a\in R^+U\text{{0}},w\in C_1: a\ge m v |a^2w^2-2aw+2|\ge 1\\\equiv a\in [0;m)\Rightarrow |a^2w^2-2aw+2|\ge 1\forall w\in C_1(AvB\equiv\bar{A}\Rightarrow B)$
-Mệnh đề sau dấu suy ra tương đương :
$|a^2w^2-2aw+2|^2 \\= (a^2w^2-2aw+2)(a^2\bar{w}^2-2a\bar{w}+2)\\=a^4+4a^2+4-2a^3(w+\bar{w})-4a (w+\bar{w})+2a^2 (w^2+\bar{w}^2)\\=a^4-2a^3(w+\bar{w})+2a^2(w+\bar{w})^2-4a (w+\bar{w})+4\ge 1$
Ta có khi $w$ di chuyển trên đường tròn đơn vị, $w+\bar{w}=2\Re (w)=b\in [-2;2]$
-Theo đó:
$U\equiv a\in [0;m)\Rightarrow a^4-2a^3b+2a^2b^2-4ab+3=f\ge 0\forall b\in[-2;2]$
Spoiler

Có parabol quay xuống dưới và đỉnh: $f'_b=4a^2b-(2a^3+4a)=0\Leftrightarrow b=\frac{a^2+2}{2a}$,dương ,không lớn hơn hai với $a$ thuộc $[2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}]$ $(1)$ và lớn hơn hai với $a$ còn lại $(2)$:
-Với $a$ thuộc khoảng $(1)$: $minf(b)=f(\frac{a^2+2}{2a})=(a^2-2)^2-2\ge 0\Leftrightarrow a\ge \sqrt{2+\sqrt{2}}va\le \sqrt{2-\sqrt{2}}$
-Với $a$ thuộc khoảng $(2)$: $minf(b)=f(2)=a^4-4a^3+8a^2-8a+3=(a-1)^2(a^2-2a+3)\ge 0$ ( Hiển nhiên )
Do đó, để $a$ thỏa mãn cho điều kiện sau dấu suy ra là $[0;\sqrt{2-\sqrt{2}}]U[\sqrt{2+\sqrt{2}};+\infty]$
-Điều kiện của $m$: $m\le \sqrt{2-\sqrt{2}}$ ( đpcm )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 03-10-2013 - 06:23

^^~

#3 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Thành viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 03-10-2013 - 13:29

Mã Latex : $\cup$ là \cup ,  $\vee$ là \vee

 

Sử dụng tương đương mệnh đề $(p \vee q) \Leftrightarrow (\bar{q} \Rightarrow p)$ cũng khá hay :D

 

Tuy nhiên, sao không sử dụng tương đương logic này nhỉ $( p \Rightarrow q ) \Leftrightarrow (\bar{q} \Rightarrow \bar{p} )$

 

tức $m \le \sqrt{2-\sqrt{2}}$ thì $\forall z \in \mathbb{C}, \; |z+1| \ge m \;\vee \; |z^2+1| \ge 1 $ tương đương với $\exists z \in \mathbb{C}, \; |z+1| < m \; \wedge |z^2+1| < 1 $ thì $m > \sqrt{2-\sqrt{2}}$  

 

Bây giờ chỉ việc tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm :D

 

 

 


Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi

https://phudinhgioihan.wordpress.com/




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh