Chứng minh $m=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ là giá trị lớn nhất của $m$ sao cho với mọi $z \in \mathbb{C}$ thì $|z+1| \ge m$ hoặc $|z^2+1| \ge 1 $
$z \in \mathbb{C}$ thì $|z+1| \ge m$ hoặc $|z^2+1| \ge 1 $
#2
Đã gửi 03-10-2013 - 04:50
-Đặt mệnh đề "với mọi $z \in \mathbb{C}$ thì $|z+1| \ge m$ hoặc $|z^2+1| \ge 1 $" là $U$:Chứng minh $m=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ là giá trị lớn nhất của $m$ sao cho với mọi $z \in \mathbb{C}$ thì $|z+1| \ge m$ hoặc $|z^2+1| \ge 1 $
-Đặt $z=a w-1$, trong đó: $a\in R$ không âm và $w$ nằm trên đường tròn đơn vị: $|w|=w\bar{w}=1$ $(C_1)$
( $z$ nằm trên đường tròn tâm $1$ bán kính $a$ - luôn tồn tại cách đặt như thế )
-Theo đó:
$U\equiv \forall a\in R^+U\text{{0}},w\in C_1: a\ge m v |a^2w^2-2aw+2|\ge 1\\\equiv a\in [0;m)\Rightarrow |a^2w^2-2aw+2|\ge 1\forall w\in C_1(AvB\equiv\bar{A}\Rightarrow B)$
-Mệnh đề sau dấu suy ra tương đương :
$|a^2w^2-2aw+2|^2 \\= (a^2w^2-2aw+2)(a^2\bar{w}^2-2a\bar{w}+2)\\=a^4+4a^2+4-2a^3(w+\bar{w})-4a (w+\bar{w})+2a^2 (w^2+\bar{w}^2)\\=a^4-2a^3(w+\bar{w})+2a^2(w+\bar{w})^2-4a (w+\bar{w})+4\ge 1$
Ta có khi $w$ di chuyển trên đường tròn đơn vị, $w+\bar{w}=2\Re (w)=b\in [-2;2]$
-Theo đó:
$U\equiv a\in [0;m)\Rightarrow a^4-2a^3b+2a^2b^2-4ab+3=f\ge 0\forall b\in[-2;2]$
Có parabol quay xuống dưới và đỉnh: $f'_b=4a^2b-(2a^3+4a)=0\Leftrightarrow b=\frac{a^2+2}{2a}$,dương ,không lớn hơn hai với $a$ thuộc $[2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}]$ $(1)$ và lớn hơn hai với $a$ còn lại $(2)$:
-Với $a$ thuộc khoảng $(1)$: $minf(b)=f(\frac{a^2+2}{2a})=(a^2-2)^2-2\ge 0\Leftrightarrow a\ge \sqrt{2+\sqrt{2}}va\le \sqrt{2-\sqrt{2}}$
-Với $a$ thuộc khoảng $(2)$: $minf(b)=f(2)=a^4-4a^3+8a^2-8a+3=(a-1)^2(a^2-2a+3)\ge 0$ ( Hiển nhiên )
Do đó, để $a$ thỏa mãn cho điều kiện sau dấu suy ra là $[0;\sqrt{2-\sqrt{2}}]U[\sqrt{2+\sqrt{2}};+\infty]$
-Điều kiện của $m$: $m\le \sqrt{2-\sqrt{2}}$ ( đpcm )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 03-10-2013 - 06:23
- phudinhgioihan yêu thích
#3
Đã gửi 03-10-2013 - 13:29
Mã Latex : $\cup$ là \cup , $\vee$ là \vee
Sử dụng tương đương mệnh đề $(p \vee q) \Leftrightarrow (\bar{q} \Rightarrow p)$ cũng khá hay
Tuy nhiên, sao không sử dụng tương đương logic này nhỉ $( p \Rightarrow q ) \Leftrightarrow (\bar{q} \Rightarrow \bar{p} )$
tức $m \le \sqrt{2-\sqrt{2}}$ thì $\forall z \in \mathbb{C}, \; |z+1| \ge m \;\vee \; |z^2+1| \ge 1 $ tương đương với $\exists z \in \mathbb{C}, \; |z+1| < m \; \wedge |z^2+1| < 1 $ thì $m > \sqrt{2-\sqrt{2}}$
Bây giờ chỉ việc tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm
- robin997 yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh