Chủ đề này có 7 trả lời

[thanhdotk14]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 

BÌNH ĐỊNH- NĂM 2013-2014

________________________________

 

 

 

Bài 1: Cho dãy số $(U_n)$ được xác định bởi: $U_0=U_1=1, U_{n+2}=\sqrt[3]{U_{n+1}}+\sqrt[3]{U_n},\forall n\in \mathbb{N}$

Chứng minh rằng dãy $(U_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 2: Cho ba số thực $a,b,c$ biến thiên trong đoạn $[1;2]$ và thỏa mãn: $a+b+c=4$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$

Bài 3: Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự $(a,b,c)$, với $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn: $[a,b,c]=2^3.3^5.5^7.7^{11}$ ? (Kí hiệu $[a,b,c]$ là bội chung nhỏ nhất của ba số $a,b,c$ nguyên dương)

Bài 4: Đường tròn nội tiếp $\Delta ABC (AB\ne AC)$, tiếp xúc với cạnh $BC,CA,AB$ tương ứng tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $FE$ cắt cạnh $AB$ tại $X$, giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $ABC$ là $T$. Chứng minh rằng: $TX\perp TF$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 02-10-2013 - 19:03

[LNH]

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 

BÌNH ĐỊNH- NĂM 2013-2014

________________________________

Bài 3: Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự $(a,b,c)$, với $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn: $[a,b,c]=2^3.3^5.5^7.7^{11}$ ? (Kí hiệu $[a,b,c]$ là bội chung nhỏ nhất của ba số $a,b,c$ nguyên dương)

Xét luỹ thừa cơ số $2$:

Ta có: $max\left \{ v_2\left ( a \right ),v_2\left ( b \right ),v_2\left ( c \right ) \right \}=3$

Áp dụng nguyên lí bao hàm và loại trừ ta được kết quả là $3.4^2-3.4+1=4^3-3^3$

Làm tương tự như vậy với lũy thừa cơ số $3,5,7$ ta được $\left ( 4^3-3^3 \right )\left ( 6^3-5^3 \right )\left ( 8^3-7^3 \right )\left ( 12^3-11^3 \right )$ bộ $\left ( a,b,c \right )$ có tính thứ tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 03-10-2013 - 13:47

[123123]

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 

BÌNH ĐỊNH- NĂM 2013-2014

________________________________

 

Bài 4: Đường tròn nội tiếp $\Delta ABC (AB\ne AC)$, tiếp xúc với cạnh $BC,CA,AB$ tương ứng tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $FE$ cắt cạnh $AB$ tại $X$, giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $ABC$ là $T$. Chứng minh rằng: $TX\perp TF$

 

Bạn có thể xem lại giúp mình đề bài hình không? Mình vẽ mà thấy TX chẳng vuông góc với TF. Cảm ơn.

[nhatquangsin]

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 

BÌNH ĐỊNH- NĂM 2013-2014

________________________________

 

 

 

Bài 2: Cho ba số thực $a,b,c$ biến thiên trong đoạn $[1;2]$ và thỏa mãn: $a+b+c=4$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$

Ta có $P+3=(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)=4\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right)$

Đặt $x=a+b,y=b+c,z=c+a$, ta có $x,y,z\in \left [ 2,4 \right ]$ và $x+y+z=8$. ta đi chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{7}{6}$. Khi đó $minP=\frac{5}{3}$.

Đầu tiên ta có các bất đẳng thức sau

$x\geq 2,x+y=4+b\geq 5$

Sử dụng khai triển Abel ta có

$\frac{7}{6}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{x}.\frac{x}{3}+\frac{1}{y}.\frac{y}{3}+\frac{1}{z}.\frac{z}{2}$

$=\left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right ).\frac{x}{3}+\left ( \frac{1}{y}-\frac{1}{z} \right ).\left ( \frac{x}{3}+\frac{y}{3} \right )+\frac{1}{z}.\left ( \frac{x}{3}+\frac{y}{3}+\frac{z}{2} \right )\geq$

$\geq \frac{2}{3}\left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right )+\frac{5}{3}\left ( \frac{1}{y}-\frac{1}{z} \right )+\frac{1}{z}\left ( \frac{8}{3}+\frac{z}{6} \right )$

$=\frac{2}{3}.\frac{1}{x}+\frac{1}{6}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ (đpcm)

Vậy $minP=\frac{5}{3}$ khi $b=c=1,a=2$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 03-10-2013 - 12:16

[BlackSelena]

Bạn có thể xem lại giúp mình đề bài hình không? Mình vẽ mà thấy TX chẳng vuông góc với TF. Cảm ơn.

Cho $AT$ cắt $BC$ tại $G$. Ta có $GT.GA = GB.GC$.

Mà $(AEF)$ với $(IBC)$ tx nhau tại $I$ nên $GI \perp AI$.  Cho $XD$ cắt $(I)$ lần 2 tại $M$ thì có $G,T,M,H,I,D$ đồng viên.  Kí hiệu đó là $(\omega )$

Nhận thấy $(\omega)$, $(AEF)$, $(I)$ có lần lượt các trục đẳng phương đồng quy là $MD, TI, FE$ nên chúng đồng quy $\Rightarrow H \in TI$ với $H$ là giao điềm $FE$ và $XD$.
Tới đây dùng góc một xíu là ra.

[nguyenqn1998]

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 

BÌNH ĐỊNH- NĂM 2013-2014

________________________________

 

 

 

Bài 1: Cho dãy số $(U_n)$ được xác định bởi: $U_0=U_1=1, U_{n+2}=\sqrt[3]{U_{n+1}}+\sqrt[3]{U_n},\forall n\in \mathbb{N}$

Chứng minh rằng dãy $(U_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 2: Cho ba số thực $a,b,c$ biến thiên trong đoạn $[1;2]$ và thỏa mãn: $a+b+c=4$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$

Bài 3: Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự $(a,b,c)$, với $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn: $[a,b,c]=2^3.3^5.5^7.7^{11}$ ? (Kí hiệu $[a,b,c]$ là bội chung nhỏ nhất của ba số $a,b,c$ nguyên dương)

Bài 4: Đường tròn nội tiếp $\Delta ABC (AB\ne AC)$, tiếp xúc với cạnh $BC,CA,AB$ tương ứng tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $FE$ cắt cạnh $AB$ tại $X$, giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $ABC$ là $T$. Chứng minh rằng: $TX\perp TF$

 

Bài 4: các bạn tự vẽ hình nhá

Gọi K là điểm chính giữa cung BC không chứa điểm A

AG là đường kính (O)

Gọi L là giao điểm của DX và EF

N là giao điểm của AI và BC

Ta có: $\angle$ITA=$\angle$ATG=90 => T,I,G thằng hàng(*)

ta cần c/m: L,I,G thẳng hàng

Ta có $\bigtriangleup DIN \sim \bigtriangleup KAG$$\bigtriangleup DIN \sim \bigtriangleup KAG$ (g-g)

=> $\frac{DN}{KG}=\frac{r}{AK}=\frac{r}{2RsinG}=\frac{r}{sin(C+A/2)}$$\frac{DN}{KG}=\frac{r}{AK}=\frac{r}{2RsinG}=\frac{r}{sin(C+A/2)}$

mà $sin(C+A/2)=\frac{LH}{DN} => \frac{LH}{KG}=\frac{r}{2R}(1)$

ta có: $IK=BK=\frac{BC}{2cosA/2}=\frac{2RsinA}{2cosA/2}=2RsinA/2$

=>$\frac{HI}{IK}=\frac{rsinA/2}{2RsinA/2}=r/2R(2)$

Từ (1),(2) => $\frac{LH}{KG}=\frac{HI}{IK}$=>L,I,G thằng hàng

=> T,L,I thẳng hàng (do (*))

mà DN//AN (cùng vuông góc EF)

=>$\angle FXL=\angle FAI$

mà $\angle FAI=\angle FIL$

=> TXLF nội tiếp 

=>FT vuông góc TX (Q.E.D)

[LNH]

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 

BÌNH ĐỊNH- NĂM 2013-2014

________________________________

Bài 2: Cho ba số thực $a,b,c$ biến thiên trong đoạn $[1;2]$ và thỏa mãn: $a+b+c=4$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$

Một cách giải khác cho bài toán:

Đặt $x=a+b$,$y=b+c$,$z=c+a$, ta có:

$P+3=\frac{1}{2}\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )$ (ĐK: $x,y,z \in \left [ 2,4 \right ]$, $x+y+z=8$)

Xét hàm $f\left ( x,y,z \right )=\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )$

Dễ thấy đây là một hàm lồi. Theo bất đẳng thức hàm lồi ta suy ra GTLN của $f$ xảy ra khi $x,y,z \in\left \{ 2,4 \right \}$

Sau đó thử các giá trị của $x,y,z$ ta được $P \leq \frac{5}{3}$

[LNH]

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 

BÌNH ĐỊNH- NĂM 2013-2014

________________________________

Bài 2: Cho ba số thực $a,b,c$ biến thiên trong đoạn $[1;2]$ và thỏa mãn: $a+b+c=4$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$

Thực chất bài này bắt đầu từ một bài toán tổng quát sau:

Cho $a_1,a_2,..,a_n \in \left [ a,b \right ]$. Tìm giá trị lớn nhất của:

P=$\left ( \frac{\alpha _1}{a_1}+\frac{\alpha _2}{a_2}+...+\frac{\alpha _n}{a_n} \right )\times \left ( \beta_1a_1+\beta_2a_2+...+\beta_na_n \right )$

Với $\alpha_i,\beta_i$ là các số thực dương cho trước

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 06-10-2013 - 19:35