Chủ đề này có 3 trả lời

[Tuananh2107]

Bài 1: Cho $0^{\circ}< x <90^{\circ}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

1.$A= \sin^{4}x + \cos ^{4}x$

2.$D= \tan ^{2}x + \cot ^{2}x$

Bài 2: Cho $\bigtriangleup ABC$ vuông tại A. Chứng minh rằng:

1.$\sin ^{2007}\widehat{B} + \cos \widehat{B}< \frac{5}{4}$

2. $\sin ^{2007}\widehat{B} + \cos ^{2008}\widehat{B}< 1$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tuananh2107: 02-10-2013 - 20:55

[Oral1020]

Lời giải:

Ta luôn có $sin^2{x}+cos^2{x}=1$

$tan{x}.cot{x}=1$

1)
Áp dụng bất đẳng thức C-S,ta có:
$sin^4{x}+cos^4{x} \ge \dfrac{(sin^2{x}+cos^2{x})^2}{2}=\dfrac{1}{2}$

Vậy GTNN của $sin^4{x}+cos^4{x}$ là $1/2$ tại $x=45$

2)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có:

$cot^2{x}+tan^2{x} \ge 2cot{x}.tan{x}=2$

Vậy GTNN của $cot^2{x}+tan^2{x}$ là 2 tại $x=45$

3)

Do $0<sin{x};cos{x} <1$ với $0 \le x \le 90$

$\Longrightarrow sin^{2007}B < sin^2{B}=1-cos^2{B}$

$\Longrightarrow sin^{2007}B+ cosB < 1-cos^2{B}+cos{B} $

Mặt khác $1-cos^2{B}+cos{B} < \dfrac{5}{4}$

Bạn có thể chứng minh bằng cách đưa về HĐT

4)

Ta có: $sin^{2007}B+cos{2008}B < sin^2{B}+cos^2{B}=1$

 

 

 

[Tuananh2107]

Lời giải:

Ta luôn có $sin^2{x}+cos^2{x}=1$

$tan{x}.cot{x}=1$

1)
Áp dụng bất đẳng thức C-S,ta có:
$sin^4{x}+cos^4{x} \ge \dfrac{(sin^2{x}+cos^2{x})^2}{2}=\dfrac{1}{2}$

Vậy GTNN của $sin^4{x}+cos^4{x}$ là $1/2$ tại $x=45$

2)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có:

$cot^2{x}+tan^2{x} \ge 2cot{x}.tan{x}=2$

Vậy GTNN của $cot^2{x}+tan^2{x}$ là 2 tại $x=45$

3)

Do $0<sin{x};cos{x} <1$ với $0 \le x \le 90$

$\Longrightarrow sin^{2007}B < sin^2{B}=1-cos^2{B}$

$\Longrightarrow sin^{2007}B+ cosB < 1-cos^2{B}+cos{B} $

Mặt khác $1-cos^2{B}+cos{B} < \dfrac{5}{4}$

Bạn có thể chứng minh bằng cách đưa về HĐT

4)

Ta có: $sin^{2007}B+cos{2008}B < sin^2{B}+cos^2{B}=1$

bất đẳng thức C-S

 cho tớ cái công thức của bđt này dc ko?

[Oral1020]

bất đẳng thức C-S

 cho tớ cái công thức của bđt này dc ko?

 

Là:

$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{c^2}{d} \ge \dfrac{(a+c)^2}{b+d}$