Chủ đề này có 7 trả lời

[thukilop]

Sở giáo dục & đào tạo Quảng Nam

Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT Năm học 2013-2014

Ngày thi: 02/10/2013

Thời gian: 180 phút

 

 

Câu 1 (5 điểm):

a) giải pt:

$\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2x^{2}-x-3$

b) giải hệ pt:

$\left\{\begin{matrix}x^{3}+3x^{2}-13x-15= &\frac{8}{y^{3}}-\frac{8}{y} \\ y^{2}+4=5y^{2}(x^{2}+2x+2) & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2 (4.0 điểm):

a) cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi: $u_{1}=\frac{2014}{2013}$, $2u_{n+1}=u_{n}^{2}+2u_{n}$ với $n\in N^{*}$

 

Đặt $S_{n}=\frac{1}{u_{1}+2}+\frac{1}{u_{2}+2}+...+\frac{1}{u_{n}+2}$. Tính $limS_{n}$

b) Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên R thỏa mãn:

$f(3x-y+\alpha )=3f(x)-f(y)$ $\forall x,y\in R$

trong đó $\alpha$ là số thực cho trước

 

Câu 3 (5,0 điểm):

a) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. Gọi M là điểm bất kì nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC. Tìm GTNN của biểu thức:

$T=MA.h_{a}+MB.h_{b}+MC.h_{c}$

( $h_{a},h_{b},h_{c}$ là độ dài các đường cao vẽ từ A,B,C tương ứng).

b) Cho tam giác ABC có 2 đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H và G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E đối xứng với H qua G. Tìm tập hợp điểm A, biết điểm E thuộc đường thẳng BC.

 

Câu 4 (3 điểm):

a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho: $a+2b=c$ và $a^{3}+8b^{3}=c^{2}$

b) Cho đa thức $f(x)$ có bậc $n>1$, có các hệ số đều là các số nguyên và thỏa điều kiện $f(a+b)=ab$ với a,b là 2 số nguyên cho trước (a,b khác 0). Chứng minh rằng $f(a)$ chia hết cho b và $f(b)$ chia hết cho a

 

Câu 5 (3 điểm): 

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa $a.b.c=8$

Chứng minh rằng với mọi k thuộc $N^{*}$ ta có:

 

$\frac{a^{2^{k}}}{(a+b)(a^{2}+b^{2})...(a^{2^{k-1}}+b^{2^{k-1}})}+\frac{b^{2^{k}}}{(b+c)(b^{2}+c^{2})...(b^{2^{k-1}}+c^{2^{k-1}})}+\frac{c^{2^{k}}}{(c+a)(c^{2}+a^{2})...(c^{2^{k-1}}+a^{2^{k-1}})}\geq \frac{3}{2^{k-1}}$

 

===Hết===

 

[thuan192]

 

Sở giáo dục & đào tạo Quảng Nam

Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT Năm học 2013-2014

Ngày thi: 02/10/2013

Thời gian: 180 phút

 

 

Câu 1 (5 điểm):

a) giải pt:

$\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2x^{2}-x-3$

 

 đk     $x\geq \frac{2}{3}$

pt tương đương với    $\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=\left ( x+1 \right )\left ( 2x-3 \right )$

             đặt $a=\sqrt{3x-2} ; b=\sqrt{x+1}$

     khi đó ta có      $\left\{\begin{matrix} a-b=a^{2}\left ( 2x-3 \right )\\ a^{2}-b^{2}=2x-3 \end{matrix}\right.$

                đến đây ta có thể giải dễ dàng và x=$\frac{3}{2}$

[Zaraki]

Câu 4 (3 điểm):

a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho: $a+2b=c$ và $a^{3}+8b^{3}=c^{2}$

Lời giải. Ta có $c^2=(a+2b)(a^2-2ab+4b^2) \Rightarrow c=a^2-2ab+4b^2$. Vậy $a^2-2ab+4b^2=a+2b \Leftrightarrow a^2-a(2b+1)+4b^2-2b=0$.

Ta có $\Delta = (2b+1)^2-4(4b^2-2b)= -12b^2+12b+1$. Để phương trình có nghiệm thì $\Delta \ge 0$. Đến đây giới hạn $b$ rồi tìm $a,c$.

[thuan192]

Câu 4 (3 điểm):

a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho: $a+2b=c$ và $a^{3}+8b^{3}=c^{2}$

 

ta có$\left\{\begin{matrix} a+2b=c\\ a^{3}+8b^{3}=c^{2} \end{matrix}\right.$

           <=>$\left\{\begin{matrix} a+2b=c\\ \left ( a+2b \right )\left ( a^{2}-2ab+4b^{2} \right )=c^{2} \end{matrix}\right.$

               vì c>0  nên ta được         $a^{2}-2ab+4b^{2} =c$

                                              <=>   $a^{2}-2ab+4b^{2} =a+2b$

                      <=>$\left ( a-2b \right )^{2}+\left ( a-1 \right )^{2}+\left ( 2b-1 \right )^{2}=2=0^{2}+1^{2}+1^{2}$

                   khi đó  a=2  b=1    c=4  và    a=b=1     c=3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuan192: 03-10-2013 - 00:07

[123123]

ta có$\left\{\begin{matrix} a+2b=c\\ a^{3}+8b^{3}=c^{2} \end{matrix}\right.$

           <=>$\left\{\begin{matrix} a+2b=c\\ \left ( a+2b \right )\left ( a^{2}-2ab+4b^{2} \right )=c^{2} \end{matrix}\right.$

               vì c>0  nên ta được         $a^{2}-2ab+4b^{2} =c$

                                              <=>   $a^{2}-2ab+4b^{2} =a+2b$

                      <=>$\left ( a-2b \right )^{2}+\left ( a-1 \right )^{2}+\left ( 2b-1 \right )^{2}=2=0^{2}+1^{2}+1^{2}$

                   khi đó  a=2  b=1    c=4

Còn nghiệm a=b=1; c=3 mà bạn.

Chứng minh $3\leq c\leq 4$ là tìm được.

[thuan192]

Do mình thử bị sót nghiệm thôi.Cảm ơn bạn nhắc nhở .mình sẽ sửa lại

[PT42]

Câu 4

a) Ta có $c^{2} = a^{3} + 8b^{3} = (a + 2b)(a^{2} - 2ab + 4b^{2}) = c. (a^{2} - 2ab + 4b^{2})$

Mà c > 0 nên $a^{2} - 2ab + 4b^{2} = c$

Lại có $(a + 2b)^{2} = a^{2} + 4ab + 4b^{2} = c^{2}$

$\Rightarrow 2ab = \frac{c^{2} - c}{3}$ (1)

 

Vì $(a + 2b)^{2} \geq 4. a. 2b$ nên $c^{2} \geq 4. \frac{c^{2} - c}{3}$

$\Rightarrow 3c^{2} \geq 4c^{2} - 4c$

$\Rightarrow c.(c - 4) \leq 0$

$\Rightarrow 0 \leq c\leq 4$ $\Rightarrow$ c= 1, 2, 3 hoặc 4 (vì c > 0) 

Mà từ (1) $\Rightarrow (c^{2} - c) \vdots 3$ $\Rightarrow$ c = 1, 3 hoặc 4.

Cũng từ (1) $\Rightarrow$ $c^{2} - c > 0$ $\Rightarrow c \neq 1$ 

$\Rightarrow$ c = 3 hoặc 4.

 

- Nếu c = 3 thì $\left\{\begin{matrix} a + 2b = 3\\a. 2b = 2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ a = 1, b = 1

 

- Nếu c = 4 thì $\left\{\begin{matrix} a. 2b = \frac{4^{2} - 4}{3} = 4\\a + 2b = 4 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a = 2\\b = 1 \end{matrix}\right.$

 

 

b) Đặt $f(x) = c_{n}x^{n} + ... + c_{1}x + c_{0}$

Với x, y là các số nguyên và $x \neq y$ ta có $x^{k} - y^{k}$ chia hết cho x - y (k = 0, 1, ..., n)

mà $c_{k}$ nguyên nên $c_{k}. (x^{k} - y^{k})$ chia hết cho x - y

$\Rightarrow f(x) - f(y)$ chia hết cho x - y

 

- Cho x = a + b, y = b ta có $x - y = a \neq 0$ $\Rightarrow f(a + b) - f(b) = ab - f(b)$ chia hết cho a

$\Rightarrow f(b)$ chia hết cho a.

Tương tự có $f(a)$ chia hết cho b.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 03-10-2013 - 11:09

[mbrandm]

bài cuối:

 k=1 ta cần chứng minh BĐT $\sum \frac{a^{2}}{a+b}\geq 3$

BĐT này t dễ dàng chứng minh được bằng cauchy-schawz kết hợp với giả thiết abc=8

Giả sử bất đẳng thức đúng khi k=l nào đó, tức là: $\sum \frac{a^{2^{l}}}{\left ( a+b \right )\left ( a^{2}+b^{2} \right )...\left ( a^{2^{l-1}}+b^{2^{l-1}} \right )}\geq \frac{3}{2^{l-1}}$

Ta sẽ chứng minh nó đúng ở k=l+1 như sau

Đặt $\left ( a+b \right )...\left ( a^{2^{l-1}} +b^{2^{l-1}}\right )=x;$

$ \left ( b+c \right )...\left ( b^{2^{l-1}}+c^{2^{l-1}} \right )=y;$

$ \left ( c+a \right )...\left ( c^{2^{l-1}}+a^{2^{l-1}} \right )=z;$

ta có $\left [ \sum \frac{2a^{2^{l+1}}}{x\left ( a^{2^{l}}+b^{2^{l}} \right )} \right ]\left [ \sum \frac{a^{2^{l}}+b^{2^{l}}}{2x} \right ]\geq \left ( \sum \frac{a^{2^{l}}}{x} \right )^{2}$

Như vậy ta cần chứng minh $\sum \frac{a^{2^{l}}}{x}\geq \sum \frac{a^{2^{l}}+b^{2^{l}}}{2x}\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2^{l}}}{x}\geq \sum \frac{b^{2^{l}}}{x}$

Ta có $a^{2^{l}}-b^{2^{l}}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\left ( a^{2}+b^{2} \right )...\left ( a^{2^{l-1}} +b^{2^{l-1}}\right )$(dễ chứng minh bằng quy nạp)

Như thế ta thấy rằng $\sum \frac{a^{2^{l}}}{x}=\sum \frac{b^{2^{l}}}{x}$

Vậy ta có :$\sum \frac{2a^{2^{l+1}}}{x\left ( a^{2^{l}} +b^{2^{l}}\right )}\geq \sum \frac{a^{2^{l}}}{x}\geq \frac{3}{2^{l-1}}$

Bài toán chứng minh xong, bài này trong bài thi thì mình chứng minh cụ thể, những chỗ dễ dàng mong mấy bạn tự chứng minh .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mbrandm: 05-10-2013 - 09:15