Sở giáo dục & đào tạo Quảng Nam
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT Năm học 2013-2014
Ngày thi: 02/10/2013
Thời gian: 180 phút
Câu 1 (5 điểm):
a) giải pt:
$\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2x^{2}-x-3$
b) giải hệ pt:
$T=MA.h_{a}+MB.h_{b}+MC.h_{c}$
( $h_{a},h_{b},h_{c}$ là độ dài các đường cao vẽ từ A,B,C tương ứng).
b) Cho tam giác ABC có 2 đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H và G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E đối xứng với H qua G. Tìm tập hợp điểm A, biết điểm E thuộc đường thẳng BC.
Câu 4 (3 điểm):
a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho: $a+2b=c$ và $a^{3}+8b^{3}=c^{2}$
b) Cho đa thức $f(x)$ có bậc $n>1$, có các hệ số đều là các số nguyên và thỏa điều kiện $f(a+b)=ab$ với a,b là 2 số nguyên cho trước (a,b khác 0). Chứng minh rằng $f(a)$ chia hết cho b và $f(b)$ chia hết cho a
Câu 5 (3 điểm):
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa $a.b.c=8$
Chứng minh rằng với mọi k thuộc $N^{*}$ ta có:
$\frac{a^{2^{k}}}{(a+b)(a^{2}+b^{2})...(a^{2^{k-1}}+b^{2^{k-1}})}+\frac{b^{2^{k}}}{(b+c)(b^{2}+c^{2})...(b^{2^{k-1}}+c^{2^{k-1}})}+\frac{c^{2^{k}}}{(c+a)(c^{2}+a^{2})...(c^{2^{k-1}}+a^{2^{k-1}})}\geq \frac{3}{2^{k-1}}$
===Hết===