Bài 2. Ta có
$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}+\frac{c}{\sqrt{b+a}}=\frac{a^{2}}{a\sqrt{b+c}}+\frac{b^{2}}{b\sqrt{a+c}}+\frac{c^{2}}{c\sqrt{a+b}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}}=\frac{1}{a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}}$
Cần chứng minh $a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\leq \sqrt{\frac{2}{3}}$
Thật vậy,ta có
$(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b})^{2}=(\sqrt{a}.\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b}.\sqrt{b(c+a)}+\sqrt{c}\sqrt{c(a+b)})^{2}\leq 2(a+b+c)(ab+bc+ca)=2(ab+bc+ca)\leq 2(\frac{(a+b+c)^{2}}{3})=\frac{2}{3}$
Do vậy $a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\leq \sqrt{\frac{2}{3}}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow Q.E.D$
P/s: cách làm này có thể chưa phải ngắn gọn nhất. Mình mong 1 cách giải ngắn hơn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi neversaynever99: 03-10-2013 - 21:46