Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của $A=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T1K23: 03-10-2013 - 20:03
Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của $A=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T1K23: 03-10-2013 - 20:03
(Đề thi Olimpic)
Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{a^{2} + 8bc}}\geq \frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}} + b^{\frac{4}{3}} + c^{\frac{4}{3}}}$
Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)
Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)
Cách 2
Ta có
$A=\frac{a^{2}}{{a}.\sqrt{(a^{2}+8bc)}}+\frac{b^{2}}{{b}.\sqrt{(b^{2}+8ca)}}+\frac{c^{2}}{{c.\sqrt{c^{2}+8ab}}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a\sqrt{a^{2}+8bc}+b\sqrt{b^{2}+8ac}+c\sqrt{c^{2}+8ab}}=\frac{(a+b+c)^{2}}{P}$
Ta có
$P^{2}=({a\sqrt{a^{2}+8bc}+b\sqrt{b^{2}+8ac}+c\sqrt{c^{2}+8ab}})^{2}=(\sqrt{a}.\sqrt{a(a^{2}+8bc)}+\sqrt{b}.\sqrt{b(b^{2}+8ac)}+\sqrt{c}.\sqrt{c(c^{2}+8ab)})^{2}\leq (a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc)$
Ta có
$(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(c+b)(c+a)\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc$
Suy ra $P^{2}\leq (a+b+c)^{4}\Leftrightarrow S\leq (a+b+c)^{2}$
Vậy $A=\frac{(a+b+c)^{2}}{S}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=1$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
Bài này mình có ý tưởng khác như sau:
Đặt $B=a(a^2+8bc)+b(b^2+8ca)+c(c^2+8ab)$
Thì Áp dụng BĐT Holder ta có:
$A^2B \ge (a+b+c)^3$
Vì theo dự đoán ta có thể thấy $Min$ cần tìm là 1 do vậy ta cần chứng minh:
$(a+b+c)^3 \ge B$, BĐT này thì biến đổi tương đương thì ta có ngay kết quả.
Vậy bài toán kết thúc
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh