Bài 2:Trong tam giác $ABC$,các trung tuyến và phân giác tương ứng với các cạnh $BC,CA,AB$ là $m_a,m_b,m_c$ và $w_a,w_b,w_c$ tương ứng.$m$ sao cho $2n$-giác đều($n>1$).Tại một thời điểm,tất cả các con ếch nhảy đến các đỉnh kề cùng một lúc(có thể có nhiều hơn một con nhảy đến cùng một đỉnh),chúng ta gọi đó là một cách nhảy.Biết rằng có tồn tại một cách nhảy,sao cho đường thẳng chứa mỗi hai đỉnh phân biệt có ếch trên nó,sau khi nhảy,không đi qua tâm của đa giác đều.Tìm tất cả các giá trị có thể của $n$.
Bài 4:Tứ giác lồi $ABCD$ với các cạnh $a,b,c,d$ ngoại tiếp đường tròn tâm $O$.Chứng minh $x<y$ là các số nguyên dương và $P=\dfrac{x^3-y}{1+xy}$.Tìm tất cả các giá trị nguyên mà $P$ có thể lấy.
Bài 6:$n$ nghiệm của đa thức $f(z)=z^n+a_1z^{n-1}+...+a_{n-1}z+a_n\in\mathbb{C}[z]$ là $z_i,i=\overline{1,n}$.Nếu $m,n(m>2)$ là các số nguyên dương,$A=\{1,2,...,n\}$.Cho tập $a_1,a_2,...,a_m$ là đôi một khác nhau.
Tính $|B_n^m|$ và $|B_6^3|$.
Bài 8:Có thể tìm các số thực dương $a_i,i=\overline{1,2002}$ sao cho :Với mỗi số nguyên dương $z$ của đa thức $a_{k+2001}x^{2001}+a_{k+2000}x^{2000}+...+a_{k+1}x+a_k$ thỏa mãn điều kiện $a_{2002+i}=a_i,i=\overline{1,2001}$?
Bài 9:Cho $(x,y)$ của
sao cho $x_0$ chia hết cho mọi ước nguyên tố của $x$.Bài 10:Tam giác $ABC$ thỏa mãn :$BC$ tại $E$,$EF$ là đường kính của đường tròn nội tiếp.Tia $AF$ cắt $BC$ tại $D$.Biết $DE$ bằng bán kính của đường tròn $(ABC)$.Tính $BC$ và $CA$.
Bài 11:Tìm tất cả $f,g:\mathbb{R}->\mathbb{R}$ thỏa mãn $A=\{a_1,a_2,...,a_n\},B=\{b_1,b_2,...,b_n\}$ là hai tập các số nguyên dương,$C=${tất cả các tập con hai phần tử của $B\}$.Hàm $|f(x)-f(y)|$ là ''mark'' của $\{x,y\}$.Nếu $n>5$,chứng minh rằng có ít nhất hai phần tử của $C$ có cùng mark.
Bài 13:$S$ là tập các điểm bên trong và trên biên của một lục giác đều với cạnh $1$.Tìm hằng số $r$ nhỏ nhất sao cho có thể tô màu tất cả các điểm của $S$ bằng ba màu mà:khoảng cách giữa hai điểm cùng màu bất kì là nhỏ hơn $r$.
Bài 14:Cho tam giác vuông cân $BC,E,F$ là hai điểm khác trên đoạn $BC$.Biết rằng :$(ADE)$ và $(ABF)$,đường thẳng $AF$ cắt $(ACE)$ tại điểm thứ hai $AD$ cắt $(AMN)$ tại điểm thứ hai $AP$.
Bài 15:$a_1=3,a_2=7,a_n^2+5=a_{n-1}a_{n+1}(n>1)$.Biết $a_n+(-1)^n$ là nguyên tố.Chứng minh $n=3^m(m\in\mathbb{N})$.
Bài 16:$a_i\in\mathbb{R},i=\overline{1,n}$.Biết $n$ không chia hết cho $2$ và $3$,và không có hai số tự nhiên $a,b$ sao cho $|2^a-3^b|=n$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$.
Bài 18:a)$D$ là một điểm bất kì nằm trong tam giác $ABC$.Đặt $R=\dfrac{BC}{min\{AD,BD,CD\}}$.Chứng minh rằng:
i)Nếu $E$ là điểm bất kì nằm trong tứ giác lồi $ABCD$.Kí hiệu $k=\dfrac{M}{m}$,ở đó $M,m$ tương ứng là khoảng cách lớn nhất và khoảng cách ngắn nhất giữa hai trong số năm điểm $A,B,C,D,E$.Chứng minh $n>2$ đường tròn trong mặt phẳng,tất cả chúng đều có bán kính bằng $1$.Biết rằng với mỗi ba trong các đường tròn trên,có ít nhất hai trong chúng có điểm chung.Chứng minh rằng hợp của $n$ hình tròn này là một hình có diện tích nhỏ hơn $35$.
Bài 20:Cho trước số nguyên $a_1,a_2,...,a_5$ sao cho :Nếu $x_1,x_2,...,x_5;y_1,y_2,...,y_5$ thỏa mãn $b_{i1}x_1+b_{i2}x_2+...+b_{i5}x_5=x_i$ và $b_{i1}y_1+b_{i2}y_2+...+b_{i5}y_5=2y_i$ với mỗi $i=\overline{1,5}$ thì $x_1y_1+x_2y_2+...+x_5y_5=0$ ở đây $S$ là tập hữu hạn các điểm có tọa độ nguyên.$A$ là tập con của $S$ với nhiều phần tử nhất sao cho đường thẳng đi qua mỗi hai điểm phân biệt trong $A$ không song song với trục hoành hay trục tung.$B$ là tập con của $\mathbb{Z}$ với ít phần tử nhất sao cho với mỗi $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).PD$ là tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$($D$ nằm trên tia $BC,P$ nằm trên tia $DA$).Đường thẳng $PU$($U$ nằm trên $BD$) giao với $(O)$ tại $Q,T$ và giao với $AB,AC$ tại $R,S$ tương ứng.Chứng minh rằng nếu $QR=ST$ thì $PQ=UT$.
Bài 23:$S$ là tập hữu hạn và $f$ là một hàm xác định trên $2^S$.Hàm $f$ được gọi là giảm nếu mỗi khi $S$ kí hiệu $2^S$ là tập tất cả các tập con của $S$).
Bài 24:Cho $n>1$ số thực dương $a_i$,và chúng không bằng nhau tất cả,sao cho $AD;E,F$ là hình chiếu của $D$ trên $AC,AB$ tương ứng,$AFH$ cắt $BE$ tại $G$.Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông có độ dài các cạnh bằng $BG,GE,BF$.
Bài 26:$k$ và mỗi hai phần tử $a+b+30k$ luôn luôn không là tích của hai số nguyên liên tiếp.Hỏi $A$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
Bài 27:$A$,chúng ta định nghĩa $A$ là tập hữu hạn).
Bài 28:Tìm tất cả $f:\mathbb{N}^*->\mathbb{R}$ thỏa mãn $A=\{1,2,...,2002\}$ và $M=\{1001,2003,3005\}$.$B$ là một tập con không rỗng của $A$.$B$ được gọi là một $M$-tập tự do nếu tổng của mỗi hai số trong $B$ không nằm trong $M$.Nếu $A_1,A_2$ là các $M$-tập tự do,chúng ta gọi cặp thứ tự $(A_1,A_2)$ là một $M$-phân hoạch của $A$.Tìm số các $M$-phân hoạch của $A$.
Bài 30:$(x_n)$ là dãy số thực thỏa mãn
$x_0=0,x_2= \sqrt[3]{2}x_1,x_3$ là nguyên dương và $x_{n+1}=\dfrac{1}{ \sqrt[3]{4}}x_n+ \sqrt[3]{4}x_{n-1}+\dfrac{1}{2}x_{n-2}(n\geq 2$.Hỏi có ít nhất bao nhiêu số nguyên phải nằm trong dãy này?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 03-08-2009 - 11:28
